Γιατί 0,999… = 1 και κάποιες σημειώσεις πάνω στην ισότητα πραγματικών αριθμών

Γνωρίζουμε ότι δύο πραγματικοί αριθμοί είναι ίσοι αν και μόνο αν η διαφορά τους είναι ίση με 0. Γνωρίζουμε, ακόμα, ότι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί έχουν άπειρα δεκαδικά ψηφία, για την ακρίβεια τόσα όσοι είναι και οι φυσικοί αριθμοί: σε κάθε φυσικό αριθμό αντιστοιχίζεται και ένα δεκαδικό ψηφίο στην αντίστοιχη θέση (η πρώτη θέση από αριστερά είναι η 0, η δεύτερη η 1, κοκ – ο πρώτος φυσικός αριθμός είναι πάντα το 0). Αυτή η συνάρτηση από τους φυσικούς αριθμούς (“άπειρη ακολουθία”) είναι σημαντική, διότι, για παράδειγμα, ο συμβολισμός 0,000…1 (τον οποίο κάπου έχει πάρει το μάτι μου), με τον υπαινιγμό άπειρα μηδενικά δεκαδικά και στο τέλος το ένα, δεν είναι πραγματικός αριθμός, αφού δεν υπάρχει “τελευταίος” φυσικός αριθμός (στον οποίο θα αντιστοιχούσε ο άσσος). Ακόμα και αν ένας αριθμός είναι ακέραιος, όπως το 1, ως πραγματικός αναπαριστάνεται ως 1,000… Θα δείξουμε, λοιπόν, ότι η παρακάτω αφαίρεση δίνει αποτέλεσμα 0:

Θα δείξουμε πρώτα ότι κάθε δεκαδικό ψηφίο του παραπάνω αποτελέσματος είναι ίσο με 0. Θα το δείξουμε αυτό θεωρώντας ένα τυχαίο δεκαδικό ψηφίο, χωρίς κάποια ιδιαίτερη ιδιότητα, επομένως μ’ αυτόν τον τρόπο θα το έχουμε δείξει για κάθε δεκαδικό ψηφίο. Έστω, λοιπόν, το τυχαίο δεκαδικό ψηφίο στην (δεκαδική) θέση k του παραπάνω αποτελέσματος. Το τελευταίο υπολογίζεται αν στο 9 προσθέσουμε το δανεικό (αν υπάρχει) το οποίο πάρθηκε στην (δεκαδική) θέση k+1, και αφαιρέσουμε αυτό το άθροισμα από το 10 (δανειζόμαστε σίγουρα στην θέση k, εφόσον η αφαίρεση του 9 ή του 9+1=10 από το 0 δίνει αρνητικό αποτέλεσμα). Το δανεικό στην θέση k+1 σίγουρα υπάρχει (αφού ανεξάρτητα από το αν υπάρχει δανεικό στην θέση k+2, χρειάζεται ήδη για την αφαίρεση του 9 από το 0), επομένως για την θέση k του αποτελέσματος γίνεται η αφαίρεση 10-(9+1), η οποία δίνει 0.

Θα δείξουμε τώρα ότι και αριστερά της υποδιαστολής του παραπάνω αποτελέσματος προκύπτει το 0. Θεωρώντας την δεκαδική θέση 0 (την πρώτη από αριστερά δεκαδική θέση), παρατηρούμε ότι υπάρχει σίγουρα δανεικό, οπότε αριστερά της υποδιαστολής έχουμε το αποτέλεσμα της αφαίρεσης 1-(0+1) = 0.

Επομένως, το αποτέλεσμα είναι:

0,000… = 0

Σημειώσεις πάνω στην ισότητα πραγματικών αριθμών

-Δύο άρρητοι αριθμοί είναι ίσοι αν και μόνο αν τα ακέραια μέρη τους είναι ίσα και για κάθε φυσικό αριθμό k ισχύει ότι το δεκαδικό ψηφίο του ενός στην θέση k είναι ίσο με το δεκαδικό ψηφίου του άλλου στην θέση k. Σημειώνεται ότι το ακέραιο μέρος ενός πραγματικού αριθμού ορίζεται ως ο μεγαλύτερος ακέραιος ο οποίος είναι μικρότερος ή ίσος του αριθμού. Έτσι, το ακέραιο μέρος του 0,1 είναι το 0, ενώ το ακέραιο μέρος του -0,1 είναι το -1.

-Κάθε ρητός δεκαδικός αριθμός, εκτός από το 0, με περίοδο το 0, είναι ίσος με έναν ρητό δεκαδικό αριθμό με περίοδο το 9.

Για παράδειγμα (οι τρεις τελείες “…” υποδεικνύουν περίοδο το 9), 3 = 2,999…, 1 = 0,999…, 10 = 9,999…, -3 = -2,999…, -1 = -0,999…, -10 = -9,999…, 2,46 = 2,45999…, -1,387 = -1,386999… κλπ.

– Το πρόβλημα της ισότητας δύο πραγματικών αριθμών είναι μη-αποφασίσιμο.

Ένα μαθηματικό πρόβλημα ορίζεται ως πρόβλημα απόφασης αν η απάντηση σ’ αυτό το πρόβλημα είναι της μορφής ΝΑΙ-ΟΧΙ.

Για παράδειγμα, με δεδομένο έναν φυσικό αριθμό, είναι ο αριθμός αυτός άρτιος, ή με δεδομένους δύο πραγματικούς αριθμούς, είναι αυτοί ίσοι;

Κάθε συγκεκριμένη μορφή δεδομένων ενός προβλήματος ονομάζεται στιγμιότυπο του προβλήματος. Για παράδειγμα για το πρόβλημα της ισότητας δύο πραγματικών αριθμών, το σύνολο όλων των στιγμιοτύπων του προβλήματος είναι όλα τα ζεύγη πραγματικών αριθμών.

Ένα πρόβλημα απόφασης είναι αποφασίσιμο όταν υπάρχει πρόγραμμα για έναν σύγχρονο ηλεκτρονικό υπολογιστή, το οποίο επιλύει σωστά το πρόβλημα για κάθε στιγμιότυπο του προβλήματος.

Ένα πρόβλημα απόφασης είναι μη-αποφασίσιμο αν δεν είναι αποφασίσιμο, δηλαδή αν κάθε πρόγραμμα για έναν σύγχρονο ηλεκτρονικό υπολογιστή αποτυχαίνει να δώσει σωστή απάντηση στο πρόβλημα για τουλάχιστον ένα στιγμιότυπο του προβλήματος.

Να σημειώσουμε εδώ, ότι ένας σύγχρονος ηλεκτρονικός υπολογιστής είναι η ισχυρότερη υπολογιστική μηχανή που έχει ανακαλύψει ο άνθρωπος μέχρι τώρα, όχι μόνο ποσοτικά αλλά και ποιοτικά, με άλλα λόγια σε 4.000 περίπου χρόνια μαθηματικής ιστορίας κανείς δεν έχει παρουσιάσει κάποιον υπολογισμό με χαρτί και μολύβι ή με οποιοδήποτε άλλο μέσο, ο οποίος να μην μπορεί να προσομοιωθεί από έναν σύγχρονο ηλεκτρονικό υπολογιστή. Η υπόθεση ότι μια ισχυρότερη υπολογιστική μηχανή δεν υπάρχει, είναι γνωστή ως “θέση Church-Turing”).

Το πρόβλημα της ισότητας δύο ρητών αριθμών είναι αποφασίσιμο, αφού ο ορισμός της ισότητας δύο ρητών αριθμών είναι και πρόγραμμα το οποίο την αποφασίζει:

Για παράδειγμα, το παρακάτω πρόγραμμα σε γλώσσα προγραμματισμού ΑΕΠΠ αποφασίζει το πρόβλημα:

Υποψιαζόμασταν ότι αυτό το πρόγραμμα υπάρχει, αφού εύκολα μπορούμε να αποφασίσουμε το πρόβλημα με χαρτί και μολύβι: μάλλον δεν καταρρίπτεται έτσι εύκολα η θέση Church-Turing.

Όμως, στα μαθηματικά οι ορισμοί δεν είναι πάντα και προγράμματα που μπορούν να αποφασίσουν αυτό που ορίζουν. Ο ορισμός της ισότητας για τους πραγματικούς αριθμούς, είναι χαρακτηριστικό παράδειγμα:

Ορίζουμε πρώτα την ισότητα με το 0:

Ένας πραγματικός αριθμός είναι ίσος με το 0, αν και μόνο αν το ακέραιο μέρος του είναι ίσο με 0 και κάθε δεκαδικό ψηφίο του είναι ίσο με 0.

Οπότε, μπορούμε τώρα να ορίσουμε γενικότερα την ισότητα οποιωνδήποτε δύο πραγματικών αριθμών:

Δύο πραγματικοί αριθμοί είναι ίσοι αν και μόνο αν η διαφορά τους είναι ίση με 0.

Σημειώστε ότι ο προηγούμενος ορισμός ορίζει την ισότητα πραγματικών αριθμών όπως ακριβώς ο ορισμός της ισότητας ρητών ορίζει την ισότητα ρητών αριθμών, τουλάχιστον όσον αφορά το ότι γίνεται με βάση το “χαμηλότερο” επίπεδο των ακέραιων αριθμών!

Ο ορισμός αυτός, όμως, υπαγορεύει και κάποιο πρόγραμμα, το οποίο αποφασίζει το πρόβλημα της ισότητας δύο πραγματικών αριθμών για κάθε ζεύγος πραγματικών αριθμών, όπως συμβαίνει και με τον ορισμό της ισότητας των ρητών αριθμών; Είδαμε παραπάνω ότι αυτό μπορεί να γίνει για τους πραγματικούς αριθμούς 1 και 0,999…Ας εξετάσουμε ένα άλλο στιγμιότυπο του προβλήματος:

Είναι ίσοι οι πραγματικοί, και μάλιστα άρρητοι, αριθμοί π και e;

Υπολογίζουμε κάποιο ικανό πλήθος δεκαδικών ψηφίων του αποτελέσματος της αφαίρεσης π-e:

Παρατηρούμε ότι το αποτέλεσμα σίγουρα είναι 0 αριστερά της υποδιαστολής αφού στην δεκαδική θέση 0 υπάρχει δανεισμός, ενώ το δεκαδικό ψηφίο στην θέση 0 είναι το 4, αφού στην δεκαδική θέση 1 δεν γίνεται δανεισμός, ανεξάρτητα από το τι γίνεται στην θέση 2! Επομένως, έχουμε π-e ≥ 0,4, επομένως η διαφορά είναι διάφορη του 0, επομένως οι αριθμοί αυτοί δεν είναι ίσοι.

Τι γίνεται, όμως, με το ακόλουθο στιγμιότυπο του προβλήματος;

Είναι ίσοι οι πραγματικοί αριθμοί 0 και d; – όπου ο d ορίζεται ως εξής:

Ακέραιο μέρος ίσο με 0 και:
Δεκαδικό ψηφίο στην θέση 0: 0 αν αριθμός 4 εκφράζεται ως άθροισμα δύο πρώτων, αλλιώς 1
Δεκαδικό ψηφίο στην θέση 1: 0 αν αριθμός 6 εκφράζεται ως άθροισμα δύο πρώτων, αλλιώς 1
Δεκαδικό ψηφίο στην θέση 2: 0 αν αριθμός 8 εκφράζεται ως άθροισμα δύο πρώτων, αλλιώς 1

Υπενθυμίζεται ότι πρώτος είναι ο φυσικός αριθμός του οποίου το σύνολο των διαιρετών έχει πλήθος στοιχείων ίσο με 2. Για παράδειγμα το 0 δεν είναι πρώτος, αφού έχει άπειρους διαιρέτες, το 5 είναι, αφού το σύνολο των διαιρετών του είναι το {1,5}, ενώ το 8 δεν είναι αφού το σύνολο {1,2,8} είναι υποσύνολο του συνόλου των διαιρετών του.

Σημειώστε ότι φυσικά υπάρχει πρόγραμμα το οποίο αποφασίζει αν ένας άρτιος φυσικός αριθμός εκφράζεται ή δεν εκφράζεται ως άθροισμα δύο πρώτων, δηλαδή αποφασίζει το νιοστό δεκαδικό ψηφίο του d, όπως ακριβώς συμβαίνει και με τον πραγματικό αριθμό π ή e. Τέτοιου είδους πραγματικοί αριθμοί λέγονται υπολογίσιμοι.

Είναι προφανές ότι ο αριθμός d είναι ίσος με το 0 αν και μόνο αν κάθε άρτιος φυσικός αριθμός μεγαλύτερος του 2 εκφράζεται ως άθροισμα δύο πρώτων. Αυτή, όμως, είναι και η διατύπωση του περίφημου μαθηματικού προβλήματος το οποίο είναι γνωστό ως η εικασία του Goldbach, το οποίο παραμένει άλυτο εδώ και τουλάχιστον 250 χρόνια. Αν ήταν έτσι εύκολο να έχουμε ένα πρόγραμμα που να αποφασίζει την ισότητα πραγματικών αριθμών, θα είχαμε λύσει και την εικασία του Goldbach. Αυτό, βέβαια, δεν αποδεικνύει ότι το πρόγραμμα αυτό δεν υπάρχει, αλλά μόνο ότι δεν το έχουμε ανακαλύψει ως τώρα. Ωστόσο, αποδεικνύεται μαθηματικά, πράγματι, ότι ένα τέτοιο πρόγραμμα δεν υπάρχει.

Γιώργος Μπουγιούκας

ν παραγοντικό (ν!)

Πρόβλημα

Το ν! παραγοντικό ορίζεται για κάθε φυσικό αριθμό ν ως εξής:

για ν=0: 0! = 1

για ν>0: ν! = 1⋅2⋅3⋅ …⋅ν

Γράψτε μια συνάρτηση με μία ακέραια παράμετρο η οποία επιστρέφει το παραγοντικό που υποδεικνύει η παράμετρος. Για παράδειγμα με όρισμα 0 η συνάρτηση πρέπει να επιστρέφει 0!= 1 ενώ με όρισμα 3 πρέπει να επιστρέφει 3! = 1⋅2⋅3 = 6.

Λύση

parag1

Απόδειξη ορθότητας

Για n=0 η συνάρτηση εκχωρεί στην μεταβλητή π την τιμή 1, ενώ η δομή επανάληψης δεν εκτελεί καμία επανάληψη, αφού η συνθήκη 1<=0 είναι ψευδής (βλ. Ακριβής). Επομένως, τελικά επιστρέφει 1, το οποίο είναι σωστό με βάση τον ορισμό του παραγοντικού.

Για ν>1 είναι εύκολο να δούμε ότι ν! = 1⋅2⋅3⋅ …⋅(ν-1) ⋅ν = (1⋅2⋅3⋅ …⋅(ν-1) )⋅ν = (ν-1)! ⋅ ν, το τελευταίο ισχύει και για ν=1 αφού 0!=1, δηλαδή το παραγοντικό ενός θετικού αριθμού είναι το παραγοντικό του προηγούμενου αριθμού επί τον αριθμό. Αυτή είναι και η λειτουργία της δομής επανάληψης στην παραπάνω συνάρτηση.

Άσκηση για εμβάθυνση

Το πρωτοντικό (primorial), το οποίο συμβολίζουμε με pn#, όπου n θετικός ακέραιος, ορίζεται ως εξής:

pn# = p1⋅ p2⋅ … ⋅pn, όπου, p1 , ο πρώτος “πρώτος” αριθμός (βλ. Πρώτοι αριθμοί), δηλαδή ο 2, p2 ο δεύτερος πρώτος αριθμός, δηλαδή ο 3, p3 ο τρίτος πρώτος αριθμός, δηλαδή ο 5 κοκ. Γράψτε μια συνάρτηση με μία ακέραια παράμετρο που επιστρέφει το πρωτοντικό που υποδεικνύει η παράμετρος.

Πρώτοι αριθμοί

Τελευταία ενημέρωση: 4/10/2016, 21:44

Πρόβλημα 1

Ένας φυσικός αριθμός είναι πρώτος αν και μόνο αν το σύνολο των διαιρετών του έχει πλήθος στοιχείων ίσο με 2.

Γράψτε μία συνάρτηση με μία ακέραια παράμετρο η οποία επιστρέφει έναν λογικό τύπο ο οποίος ισούται με Αληθής αν η παράμετρος είναι πρώτος αριθμός και με Ψευδής αν δεν είναι πρώτος.

Λύση

pr

Απόδειξη ορθότητας

Με βάση τον ορισμό του πρώτου αριθμού που δίνεται στην διατύπωση του προβλήματος το 0 και το 1 δεν είναι πρώτοι αριθμοί, γιατί το πλήθος των διαιρετών του 0 ({1,2,3,4,…}) είναι άπειρο, ενώ το πλήθος των διαιρετών του 1 ({1}) είναι 1. Κάθε φυσικός αριθμός μεγαλύτερος του 1 έχει σύνολο διαιρετών με πλήθος τουλάχιστον 2. Πράγματι, κάθε φυσικός αριθμός μεγαλύτερος του 1 διαιρείται με τον εαυτό του και το 1. Επομένως, για να είναι πρώτος ένας φυσικός αριθμός μεγαλύτερος του 1 θα πρέπει να μην έχει κανένα άλλο διαιρέτη εκτός από αυτούς που προαναφέραμε. Με βάση τα προηγούμενα η απόδειξη ορθότητας του αλγορίθμου είναι άμεση.

Σχόλια

-Ελέγχουμε αν ο φυσικός αριθμός k διαιρείται με τον φυσικό αριθμό m χρησιμοποιώντας τον τελεστή MOD: αν k MOD m = 0, ο m είναι διαιρέτης του k και αντίστροφα (αυτός είναι και ο τυπικός μαθηματικός ορισμός).

-Στο παραπάνω πρόγραμμα η επαναληπτική δομή ΓΙΑ δεν εκτελείται για κ = 2, αφού η αρχική τιμή που θα πάρει η μεταβλητή-μετρητής ι είναι 2-1 = 1: ο έλεγχος της συνθήκης 1 >= 2 (η οποία είναι ψευδής) που ακολουθεί (ο τελεστής >= είναι λόγω του αρνητικού βήματος) δεν επιτρέπει την εκτέλεση καμιάς επανάληψης.

Πρόβλημα 2
Ένας φυσικός αριθμός μεγαλύτερος του 1 ο οποίος δεν είναι πρώτος λέγεται “σύνθετος”.

Λύστε το πρόβλημα 1 χρησιμοποιώντας τα παρακάτω δύο θεωρήματα:

1) Ένας φυσικός αριθμός μεγαλύτερος του 1 ο οποίος είναι σύνθετος γράφεται ως γινόμενο πρώτων παραγόντων, με πλήθος παραγόντων τουλάχιστον 2 – και μάλιστα κατά μοναδικό τρόπο, αν θεωρήσουμε ότι τα γινόμενα που προκύπτουν με την εφαρμογή της αντιμεταθετικής ιδιότητας του πολλαπλασιασμού δεν συνιστούν διαφορετικό γινόμενο. Για παράδειγμα ο αριθμός 4 γράφεται μοναδικά ως γινόμενο πρώτων παραγόντων ως 2⋅2. Το θεώρημα είναι γνωστό και ως “θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής” *.

2) Εάν ένας αριθμός είναι πρώτος μεγαλύτερος του 3, τότε ο επόμενος ή ο προηγούμενος είναι πολλαπλάσιο του 6” (το αντίστροφο δεν ισχύει).

Λύση

pr2

Απόδειξη ορθότητας

Ένας πρώτος αριθμός σίγουρα δεν γράφεται ως γινόμενο με τουλάχιστον δύο πρώτους παράγοντες, αφού οι μόνοι του διαιρέτες είναι το 1 και ο εαυτός του: γράφεται μόνο ως γινόμενο του εαυτού του με το 1, και το 1 δεν είναι πρώτος αριθμός. Από το δεύτερο θεώρημα συνεπάγεται ότι μπορούμε να αναζητήσουμε τους πρώτους αριθμούς που είναι μεγαλύτεροι του 3 δίπλα (πριν ή μετά) από τα πολλαπλάσια του 6. Από το ίδιο θεώρημα συνεπάγεται επίσης (μέσω αντιθετοαντιστροφής) ότι “αν για έναν αριθμό μεγαλύτερο του 3 ισχύει ότι ούτε ο προηγούμενος ούτε ο επόμενος είναι πολλαπλάσιο του 6, τότε ο αριθμός είναι σύνθετος”. Από το πρώτο θεώρημα και τον ορισμό του πρώτου και του σύνθετου αριθμού συνεπάγεται ότι προκειμένου να αποδείξουμε ότι ένας αριθμός μεγαλύτερος του 1 είναι πρώτος αρκεί να εξετάσουμε αν υπάρχει πρώτος διαιρέτης του, ο οποίος βέβαια πρέπει να είναι διαφορετικός από τον ίδιο τον αριθμό (αν υπάρχει ο αριθμός δεν είναι πρώτος, αλλιώς είναι). Από τα παραπάνω συνεπάγεται άμεσα η ορθότητα του προγράμματος.

Σχόλια

Ο τελεστής MOD έχει την ίδια προτεραιότητα με τον τελεστή του πολλαπλασιασμού (*) και της διαίρεσης (/), η οποία είναι μεγαλύτερη από αυτή του τελεστή πρόσθεσης (+) και αφαίρεσης (-). Οπότε, για παράδειγμα, αν θέλουμε να ελέγξουμε αν ένας αριθμός κ δεν διαιρείται με τον προηγούμενο ενός αριθμού ι, χρησιμοποιούμε την συνθήκη κ MOD (ι-1) <> 0, περικλείοντας με παρενθέσεις το “ι-1”. Σε διαφορετική περίπτωση θα εκτελεστεί (κ MOD ι) – 1 , το οποίο είναι διαφορετικό.

Άσκηση για εμβάθυνση

Λύστε το πρόβλημα 1 χρησιμοποιώντας επιπλέον το παρακάτω θεώρημα:

Εάν ένας αριθμός είναι σύνθετος, τότε υπάρχει ένας πρώτος διαιρέτης του ο οποίος είναι μικρότερος ή ίσος από την τετραγωνική ρίζα του αριθμού (η τετραγωνική ρίζα ενός φυσικού αριθμού είναι γενικά πραγματικός αριθμός).

*Πάραυτα δεν διδάσκεται στην πρωτοβάθμια, ούτε στην δευτεροβάθμια εκπαίδευση