Τεκμηριώνεται επιστημονικά η Β’ (και η Α’) ανάθεση του μαθήματος των μαθηματικών σε πληροφορικούς στην β/βάθμια εκπαίδευση;

Ως γνωστόν, με βάση το άρθρο 30 του Ν.2009/1992 (ΦΕΚ 18/14-2-1992, τ.Α ́) “Εθνικό Σύστημα Επαγγελματικής Εκπαίδευσης και Κατάρτισης και άλλες διατάξεις” μετατάχθηκαν στον νεοσύστατο τότε εκπαιδευτικό κλάδο Π19, λόγω έλλειψης απόφοιτων πληροφορικής, εκπαιδευτικοί χωρίς πτυχίο πληροφορικής, κυρίως μαθηματικοί. Θεωρώ ότι δικαιωματικά ένας μαθηματικός είναι η πρώτη επιλογή αναπλήρωσης ενός πληροφορικού όταν προκύψει ανάγκη, θα δείξω, μάλιστα, ότι αυτή η “συνάρτηση” είναι “αντιστρέψιμη”, δηλαδή ότι και ένας πληροφορικός είναι η πρώτη επιλογή αναπλήρωσης ενός μαθηματικού.

Η σχέση πληροφορικής-μαθηματικών είναι εσωτερική-δομική και όχι εξωτερική-εργαλειακή.

Η εργαλειακή χρήση των μαθηματικών, όπως άλλωστε και της πληροφορικής, λαμβάνει χώρα σε μια πληθώρα επιστημών και ειδικοτήτων. Για παράδειγμα, η επιστήμη της φυσικής χρησιμοποιεί τα μαθηματικά ως εργαλείο με σκοπό την μοντελοποίηση του αντικείμενου της μελέτης της, του φυσικού κόσμου, ο οποίος δεν είναι αυτός καθαυτός αυστηρά ορισμένο μαθηματικό αντικείμενο – τουλάχιστον κανείς μέχρι τώρα δεν έχει καταφέρει να αποδείξει κάτι τέτοιο.

Από την άλλη πλευρά, το θεμελιώδες αντικείμενο της πληροφορικής είναι οι αλγόριθμοι, ευρύτερα γνωστοί ως “προγράμματα”, οι οποίοι είναι ένα αυστηρά ορισμένο μαθηματικό αντικείμενο, αυτοί καθαυτοί. Οι αλγόριθμοι δεν “χρησιμοποιούν τα μαθηματικά”, αλλά χρησιμοποιούν τα…υπόλοιπα μαθηματικά, όπως και τα υπόλοιπα μαθηματικά χρησιμοποιούν τους αλγόριθμους, αν όχι θεμελιώνονται πάνω στους τελευταίους σε κάποιο βαθμό.

Το 1931 ο Γκέντελ δημοσίευσε τα περίφημα θεωρήματα μη-πληρότητας. Η απόδειξή του βασίστηκε πάνω στην επιμέρους απόδειξη ότι οι πρωτόγονες αναδρομικές συναρτήσεις (ένα υποσύνολο των προγραμμάτων) αναπαριστάνονται στην πρωτοβάθμια αριθμητική Peano, με άλλα λόγια είναι αυστηρά ορισμένα μαθηματικά αντικείμενα σε μια τόσο θεμελιώδη μαθηματική θεωρία όπως η αριθμητική. Αυτό αποδεικνύεται και για το σύνολο των προγραμμάτων (μ-Αναδρομικές συναρτήσεις). Για την αναπαράσταση αυτή, μάλιστα, δεν είναι αναγκαίο καν το αξιωματικό σχήμα της επαγωγής, αρκούν οι δύο γνωστές πράξεις, της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού!

-Οι αλγόριθμοι είναι θεμέλιο των μαθηματικών.

Συνεπάγεται από την προηγούμενη διαπίστωση. Εφόσον οι αλγόριθμοι είναι κομμάτι της πρωτοβάθμιας αριθμητικής Peano, η οποία για ευνόητους λόγους θεωρείται θεμέλιο των μαθηματικών, τότε και οι ίδιοι συνιστούν θεμελιώδες συστατικό των μαθηματικών.

-Τα θεμέλια συναντούν πολύ συχνά τα άλλα θεμέλια (προτασιακό και κατηγορηματικό λογισμό).

Τα τμήματα της τριτοβάθμιας εκπαίδευσης τα οποία χρησιμοποιούν εργαλειακά τα μαθηματικά, συνήθως περιλαμβάνουν στο πρόγραμμα σπουδών τους μια σειρά μαθημάτων των μαθηματικών κλάδων της ανάλυσης και (σπανιότερα) της γραμμικής άλγεβρας, αλλά όχι θεμέλια των μαθηματικών όπως ο προτασιακός και κατηγορηματικός λογισμός. Αυτά τα αντικείμενα αποτελούν στην πλειονότητα των περιπτώσεων αναπόσπαστο κομμάτι των προγραμμάτων σπουδών των διαφόρων τμημάτων πληροφορικής (τα οποία συνιστούν τους εκπαιδευτικούς κλάδους Π19 και Π20) και θέτουν τις βάσεις για μια βαθιά κατανόηση των μαθηματικών η οποία είναι πάνω από κάθε σύγκριση με την όποια εξωτερική-εργαλειακή τους χρήση.

Η μελέτη των αλγορίθμων απαιτεί ένα ακόμα ευρύτερο μαθηματικό υπόβαθρο, γεγονός το οποίο επιβεβαιώνουν τα προγράμματα σπουδών της πλειονότητας των τμημάτων πληροφορικής.

Πέρα από τον προτασιακό και κατηγορηματικό λογισμό, συνήθη μαθηματικά αντικείμενα ή μοντέρνες φαρμογές των μαθηματικών στα προγράμματα σπουδών πληροφορικής είναι:

  • Aνάλυση
  • Γραμμική άλγεβρα
  • Θεωρία πιθανοτήτων
  • Θεωρία συνόλων
  • Συνδυαστική
  • Θεωρία των γράφων
  • Θεωρία υπολογισιμότητας
  • Θεωρία αυτομάτων και τυπικών γλωσσών
  • Θεωρία πολυπλοκότητας
  • Θεωρία πληροφορίας
  • Κρυπτογραφία
  • Γραμμικός προγραμματισμός
  • Άλγεβρα Μπουλ
  • Θεωρία παιγνίων

-Οι αλγόριθμοι είναι παντού στα μαθηματικά.

Ξεκινώντας την μαθηματική εκπαίδευση ήδη από τις πρώτες τάξης του Δημοτικού και συνεχίζοντας σε υψηλότερες βαθμίδες της εκπαίδευσης, διδάσκονται:

  • Ο αλγόριθμος της προπαίδειας.
  • Ο αλγόριθμος της κάθετης πρόσθεσης και αφαίρεσης.
  • Ο αλγόριθμος του κάθετου πολλαπλασιασμού και της κάθετης διαίρεσης.
  • Αλγόριθμοι εύρεσης του ελάχιστου κοινού πολλαπλασίου (ΕΚΠ).
  • Αλγόριθμοι εύρεσης του μέγιστου κοινού διαιρέτη (ΜΚΔ.)
  • Αλγόριθμοι για την μετατροπή δύο κλασμάτων σε ομώνυμα.
  • Αλγόριθμοι πρόσθεσης κλασμάτων.
  • Ο αλγόριθμος «το κόσκινο του Ερατοσθένη».
  • Ο αλγόριθμος κατασκευής ισοσκελούς τριγώνου με χάρακα και διαβήτη.
  • Ο αλγόριθμος διχοτόμησης ευθύγραμμου τμήματος με χάρακα και διαβήτη.
  • Ο αλγόριθμος διχοτόμησης γωνίας με χάρακα και διαβήτη.
  • Ο αλγόριθμος υπολογισμού ρητής προσέγγισης τετραγωνικής ρίζας φυσικού αριθμού.
  • Ο αλγόριθμος επίλυσης (στο ℝ) μονομεταβλητής πρωτοβάθμιας εξίσωσης με ρητούς συντελεστές.
  • Ο αλγόριθμος επίλυσης (στο ℝ) μονομεταβλητής δευτεροβάθμιας εξίσωσης με ρητούς συντελεστές.
  • Αλγόριθμοι παραγώγισης για διάφορες κλάσεις συναρτήσεων.
  • Αλγόριθμοι ολοκλήρωσης για διάφορες κλάσεις συναρτήσεων.

Οι αλγόριθμοι οριοθετούν τα μαθηματικά.

Η οριοθέτηση μιας επιστήμης είναι απαραίτητη, χρήσιμη, και προσδίδει κύρος σ’ αυτήν. Συνεισφέρει στo να μην καταβάλλεται μάταιη προσπάθεια σε ανέφικτους στόχους. Αν το θεώρημα Lindemann–Weierstrass από το οποίο συνεπάγεται ότι δεν είναι δυνατός ο τετραγωνισμός του κύκλου αποδεικνυόταν νωρίτερα από το 1882, αυτό το πρόβλημα θα απασχολούσε την επιστήμη των μαθηματικών για λιγότερο χρόνο από όσο τελικά την απασχόλησε. Έτσι, τα θεωρήματα μη-πληρότητας του Γκέντελ, η απόδειξη των οποίων όπως είδαμε θεμελιώνεται πάνω στους αλγόριθμους, συνεισφέρουν, για παράδειγμα, στο να μην ασχολούνται οι μαθηματικοί με την απόδειξη της συνέπειας της συνολοθεωρίας ZFC εντός του ZFC, εκτός κι αν θέλουν να αποδείξουν ότι το ZFC είναι ασυνεπές.

Οι αλγόριθμοι όμως δεν οριοθετούν τα μαθηματικά μόνο μέσω των θεωρημάτων μη-πληρότητας του Γκέντελ, αλλά και πιο άμεσα, μέσω του θεωρήματος του τερματισμού του “πατέρα της πληροφορικής”, Άλαν Τούρινγκ. Το πρόβλημα του τερματισμού, το οποίο ο Τούρινγκ απέδειξε ότι είναι “μη-αποφασίσιμο, “ανάγεται” σε διάφορα γνωστά προβλήματα στα μαθηματικά, τα οποία, ως συνέπεια, αποδεικνύονται και αυτά “μη-αποφασίσιμα”. Για παράδειγμα, γνωρίζουμε ότι δεν υπάρχει αλγόριθμος ο οποίος επιλύει στο ℝ κάθε δευτεροβάθμια εξίσωση με πραγματικούς συντελεστές. Επίσης, ότι δεν υπάρχει αλγόριθμος για το πρόβλημα της ισότητας δύο πραγματικών αριθμών, καθώς και για πληθώρα άλλων προβλημάτων.

Η ύπαρξη αλγορίθμων είναι τόσο σημαντική για τα μαθηματικά, όσο και η ανυπαρξία τους!

-Όλα (σχεδόν) τα μαθηματικά μέσα σ’ έναν αλγόριθμο.

Η συνολοθεωρία ZFC αποτελεί δικαιολογημένα θεμέλιο των μαθηματικών, αφού μέχρι τώρα σχεδόν όλα (πλην ελάχιστων εξαιρέσεων) τα μαθηματικά θεωρήματα, αποδεικνύονται μέσα σ΄ αυτήν. Και επειδή πρόκειται για μια “πρωτοβάθμια” θεωρία, το πρόβλημα της “k-αποδειξιμότητας” (k-provability problem) γι’ αυτήν είναι αποφασίσιμο.

Με απλά λόγια αυτό μας λέει ότι δεδομένου ενός ισχυρισμού ο οποίος μπορεί να διατυπωθεί μέσα στην ZFC, υπάρχει αλγόριθμος ο οποίος απαντάει σωστά “ναι” ή “όχι” στο ακόλουθο ερώτημα:

υπάρχει απόδειξη στην ZFC για τον δεδομένο ισχυρισμό της οποίας το μέγεθος είναι το πολύ k σύμβολα; (μια απόδειξη είναι τυπικά μια συμβολοσειρά).

-Ένα από τα μεγαλύτερα ανοιχτά προβλήματα των μαθηματικών σήμερα (αν όχι το μεγαλύτερο) είναι ένα πρόβλημα πληροφορικής: το πρόβλημα P versus NP.

Το ινστιτούτο μαθηματικών Clay έχει ανακηρύξει επτά μαθηματικά βραβεία για την επίλυση αντίστοιχων επτά μαθηματικών προβλημάτων, γνωστών ως Millenium Problems (Προβλήματα της Χιλιετίας). Κάθε βραβείο συνοδεύεται από το χρηματικό ποσό του ενός εκατομμυρίου δολαρίων. Ένα από τα προβλήματα αυτά είναι το P versus NP, το οποίο μπορεί να διατυπωθεί στην ακόλουθη (σχετικά απλοποιημένη) μορφή:

Ο καλύτερος αλγόριθμος μέχρι τώρα για την επίλυση του προβλήματος της k-αποδειξιμότητας της θεωρίας ZFC (το οποίο διατυπώθηκε παραπάνω) είναι αρκετά αργός (“εκθετικός”) για να είναι χρήσιμος-αποδοτικός. Υπάρχει ένας αρκετά γρήγορος (“πολυωνυμικός”) αλγόριθμος, ώστε να είναι χρήσιμος-αποδοτικός;

Επίλογος

Τεκμηριώνεται, λοιπόν, επιστημονικά η Β’ (και η Α’) ανάθεση του μαθήματος των μαθηματικών σε πληροφορικούς στην δευτεροβάθμια εκπαίδευση; Τα συμπεράσματα δικά σας.

Μηδέν στη μηδενική μπορεί και επιβάλλεται να ορίζεται ίσο με ένα

τελευταία ενημέρωση: 23/3/2017, 12:05


Σημείωση: «Μηδέν στη μηδενική» είναι φυσικά η δύναμη εκείνη με βάση την πραγματική σταθερή 0 και εκθέτη την πραγματική σταθερή 0. Και είναι αυτή η δύναμη η οποία θεωρείται ότι δεν ορίζεται στο βιβλίο μαθηματικών της Γ’ Γυμνασίου (σ.17), και συνεπώς γενικότερα στα μαθηματικά της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης. Το πιθανότερο, το ίδιο ισχύει και για την τριτοβάθμια εκπαίδευση όσον αφορά τουλάχιστον τον μαθηματικό κλάδο της ανάλυσης.


Δεν υπάρχει τίποτα στα μαθηματικά (τουλάχιστον μέχρι τώρα) που να απαγορεύει τον ορισμό 00=1. Αντίθετα, όλα τον υπαγορεύουν. Πιο αναλυτικά:

Α) Οι συνήθεις “αποδείξεις” για δήθεν αντιφάσεις οι οποίες προκύπτουν από αυτόν τον ορισμό, καταρρίπτονται:

#1 Διαιρώντας με το 0, εφαρμόζοντας με απροσεξία γνωστή ιδιότητα των δυνάμεων , δεν αποδεικνύεται τίποτα:

Έστω ότι ορίζεται 00=1, τότε:

Φυσικά, άκυρη απόδειξη, αφού η γνωστή ιδιότητα των δυνάμεων στο δεύτερο βήμα δεν μπορεί να εφαρμοστεί στην συγκεκριμένη περίπτωση, εφόσον η δύναμη 01 δεν ορίζεται (διαίρεση με το 0).

Για να το κάνουμε ακόμα πιο ξεκάθαρο, εφαρμόζοντας αυτήν την ιδιότητα των δυνάμεων εκεί που δεν εφαρμόζεται, όπως ακριβώς προηγουμένως, θα “αποδείξουμε” ότι δεν ορίζεται ο πραγματικός αριθμός 02:

#2 Εφαρμόζοντας με απροσεξία γνωστή ιδιότητα των λογαρίθμων, δεν αποδεικνύεται τίποτα:

Έστω ότι ορίζεται 00=1, τότε:

Αντίφαση”, αφού ο λογάριθμος του 00=1 ορίζεται και είναι το 0, ενώ ο λογάριθμος του 0 δεν ορίζεται.

Το πρόβλημα εδώ είναι ότι η εφαρμογή της γνωστής ιδιότητας των λογαρίθμων απαιτεί η βάση της δύναμης να είναι θετική! Για να το κάνουμε ακόμα πιο ξεκάθαρο, με αυτή την απροσεξία θα “αποδείξουμε” ότι δεν ορίζεται ο πραγματικός αριθμός 4:

(Δεν ορίζεται λογάριθμος αρνητικού αριθμού)

#3 Διαισθητικά ή εφαρμόζοντας αυθαίρετους κανόνες οι οποίοι αντιφάσκουν με τους ισχύοντες, δεν αποδεικνύεται τίποτα:

Έστω η συνάρτηση f(x)= x0 ορισμένη στο ℝ\{0} και η συνάρτηση g(x)= 0x ορισμένη στο (0, ):

Αυτό ήταν (το επιχείρημα), δεν συναντάται κάπου κάποια συντακτική συνέχεια η οποία να αποδεικνύει ο,τιδήποτε!

Μήπως, όμως, υπονοείται ότι…η συντακτική συνέχεια είναι τόσο τετριμμένη που δεν χρήζει καν αναφοράς; Για να δούμε. Έστω, ότι ορίζεται 00=1. Μπορούν, τότε, οι παραπάνω συναρτήσεις να οριστούν η f(x) στο ℝ, η g(x) στο [0, ). Υπάρχει ο υπαινιγμός μήπως ότι μπορούμε τώρα να κάνουμε κάτι τέτοιο;

Οπότε, επειδή τα όρια καθώς το x τείνει στο x0 δεν μεταβάλλονται ορίζοντας 00=1, παίρνουμε…

Και τελικά…

“Αντίφαση”! Ωστόσο, και αυτή η “απόδειξη” έχει ήδη φτάσει η ίδια σε αντίφαση πριν προλάβει να φτάσει στο επιθυμητό αποτέλεσμα. Αυτό γίνεται ήδη στην σχέση (1) παραπάνω, απ’ όπου παίρνουμε ότι (θυμηθείτε, έχουμε υποθέσει 00=1):

Όμως, από τον ορισμό του ορίου, εφόσον για x>0 είναι g(x) = 0, ως γνωστό:

Αντίφαση! Καταλήξαμε σε αντίφαση, όχι εξαιτίας του ορισμού 00=1, αλλά επειδή το όριο στην (1) υπολογίστηκε με έναν αυθαίρετο κανόνα (αντικατάσταση με το 0 στον τύπο της συνάρτησης), το αποτέλεσμα του οποίου έρχεται σε αντίφαση με το αποτέλεσμα που προκύπτει από τον ορισμό του ορίου. Για να το κάνουμε ακόμα πιο ξεκάθαρο, έστω ότι 00 δεν ορίζεται και η ίση με την g(x), στην περίπτωση που 00=1 ορίζεται, συνάρτηση h(x):

Θέλοντας, τώρα, να υπολογίσουμε το όριο της g(x) καθώς το x τείνει στο 0 από δεξιά, αντικαθιστούμε το 0 στον τύπο της συνάρτησης:

Όμως, από τον ορισμό του ορίου προκύπτει ότι αυτό είναι 0.

Από τα παραπάνω, μεταξύ άλλων προφανών, προκύπτει ότι είτε ορίζεται 00=1, είτε δεν ορίζεται,  ΔΕΝ ισχύει ότι για κάθε f(x) και g(x) με όριο το 0 καθώς το x τείνει στο x0:

Προσέξτε ότι το δεύτερο μέλος της παραπάνω ισότητας είναι μια δύναμη με βάση και εκθέτη την πραγματική σταθερή 0 (00). Το πρώτο μέλος όποιος θέλει μπορεί να το ονομάσει “απροσδιόριστη μορφή 00”. Αυτά τα δύο, λοιπόν, δεν είναι ταυτόσημα! Τι «απροσδιόριστη» μορφή θα ήταν άραγε αυτή η οποία θα ήταν ταυτόσημη με κάτι…σταθερό; Από την άλλη, κάτι σταθερό το οποίο, ακριβώς, δεν είναι ταυτόσημο με κάτι «απροσδιόριστο»,  γιατί να μην ορίζεται;


Ας δούμε όμως τώρα το παραπάνω επιχείρημα ως καθαρή διαίσθηση. Πρόκειται για μια διαίσθηση του Cauchy, σε μια εποχή αρκετά μακρινή τόσο ώστε η συνολοθεωρία με το κενό της σύνολο να μην έχει καθιερωθεί ως θεμελιώδης πυρήνας των μαθηματικών όπως σήμερα, επομένως η ιδέα του γινομένου των στοιχείων του κενού συνόλου μάλλον να μην έχει κάποια ισχυρή σημασία (βλ. περίπτωση Δ) παρακάτω).

Ο Cauchy λοιπόν παρατήρησε ότι αν στην δύναμη 00, τόσο την βάση όσο και τον εκθέτη, τα αντικαταστήσουμε με συναρτήσεις μιας μεταβλητής οι οποίες έχουν όριο το 0 καθώς το x τείνει στο 0, το όριο της δύναμης, τότε, δεν είναι πάντα ίδιο. Με άλλα λόγια αν έχουμε μια δύναμη με βάση μια συνάρτηση μίας πραγματικής μεταβλητής η οποία έχει όριο το 0 καθώς το x τείνει στο 0, και εκθέτη μία (όχι απαραίτητα ίση) συνάρτηση της ίδιας μεταβλητής με τα ίδια χαρακτηριστικά, αυτό δεν προεξοφλεί το όριο της δύναμης. Αυτό οδήγησε τον Cauchy στην διαίσθηση ότι η δύναμη 00 δεν πρέπει να ορίζεται, απουσία οποιασδήποτε άλλης εύλογης δικαιολόγησης ενός ορισμού, όπως μια τέτοια παρέχεται σήμερα από την αρχή του κενού γινομένου, για παράδειγμα.

Δεν γνωρίζω αν εκείνη την εποχή οριζόταν το ακέραιο μέρος ενός πραγματικού αριθμού x, ⌊x⌋  (ο μεγαλύτερος ακέραιος ο οποίος είναι μικρότερος ή ίσος του x), πάντως σήμερα ορίζεται και κανείς δεν διαφωνεί ότι:

⌊0⌋ = 0

Αν στο ⌊0⌋ αντικαταστήσουμε το 0, κατ’ αντίστοιχο τρόπο όπως στην περίπτωση 00, με συναρτήσεις με όριο το 0 καθώς το x τείνει στο 0, έστω f(x)=x, g(x)=x2, h(x) =-x2, για το όριο του ακέραιου μέρους των τελευταίων συναρτήσεων καθώς το x τείνει στο 0, παίρνουμε:

Με άλλα λόγια, με βάση την διαίσθηση του Cauchy, το ακέραιο μέρος του 0 δεν θα έπρεπε να ορίζεται!


Υπάρχει, βέβαια, πάντα, και η εξόφθαλμη κατάρριψη:

H (α) είναι μία δύναμη με βάση και εκθέτη συναρτήσεις της ίδιας μεταβλητής. Η (β) είναι μια δύναμη με βάση και εκθέτη την πραγματική σταθερή 0. Καμία σχέση το ένα με το άλλο, είναι ξεκάθαρα δύο διαφορετικά πράγματα.

Να προσθέσουμε κι ένα συναρτησιακό σύμβολο στην (α):

Μήπως άρχισαν να μοιάζουν τώρα;

H (α) – η οποία ισούται τώρα με 1/e – μας λέει τώρα ότι καθώς το x πλησιάζει το 0 από δεξιά (χωρίς να το ακουμπάει), η δύναμη, της οποίας, τότε, τόσο η βάση όσο και ο εκθέτης τείνουν στο 0, χωρίς στην συγκεκριμένη περίπτωση να το ακουμπάνε, τείνει στο 1/e (χωρίς να το ακουμπάει). Η (β) παραμένει η δύναμη με εκθέτη και βάση σταθερά την πραγματική σταθερή 0, και όχι κάτι που τείνει στο 0. Καμία σχέση. Άλλο το ΕΙΝΑΙ, άλλο το ΤΕΙΝΕΙ.

Β) Ο πολλαπλασιασμός πραγματικών σταθερών θεμελιώνεται πάνω στον πολλαπλασιασμό ακεραίων (και όχι πάνω στην έννοια του ορίου της ανάλυσης)

Μια δύναμη με βάση και εκθέτη μια πραγματική σταθερή αναπαριστάνεται κλασσικά μέσω του πολλαπλασιασμού πραγματικών σταθερών. Για παράδειγμα (για α μη-αρνητικό εξ’ ορισμού του ριζικού συμβόλου):

Φυσικά, το ίδιο ισχύει και για την περίπτωση άρρητης βάσης ή/και εκθέτη, χρειαζόμαστε όμως τον ορισμό της πραγματικής σταθερής που ακολουθεί. Μια πραγματική σταθερή είναι τυπικά μια κλάση ισοδυναμίας ρητών ακολουθιών Cauchy και αναπαριστάνεται συντακτικά από οποιοδήποτε μέλος της κλάσης ισοδυναμίας. Για παράδειγμα η πραγματική σταθερή 0 αναπαριστάνεται ως η ρητή ακολουθία {0, 0, 0, …}, ή κατά σύμβαση απλά 0, ενώ η πραγματική σταθερή π αναπαριστάνεται ως ρητή ακολουθία {3, 3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159, ….} ή κατά σύμβαση απλά π. Το γινόμενο δύο πραγματικών αριθμών, δηλαδή δύο ρητών ακολουθιών Cauchy, ορίζεται ως η ρητή ακολουθία της οποίας κάθε όρος ισούται με το γινόμενο των αντίστοιχων όρων των παραγόντων (ακολουθιών), για παράδειγμα το γινόμενο π⋅e, ορίζεται ως εξής:

{3, 3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159, …. } ⋅ {2, 2.7, 2.71, 2.718, 2.7182, 2.71828, …} =

{3⋅2, 3.14 ⋅ 2.71, 3.141 ⋅2.718, 3.1415 ⋅2.7182, 3.14159 ⋅2.71828, …} =

{6, 8.5094, 8.537238, 8.5392253, 8.5397212652, …}

Ας δούμε τώρα τι γίνεται με μια δύναμη με βάση και εκθέτη άρρητους, π.χ πe:

πe = {32, 3.12.7, 3.142.71, 3.1412.718, 3.14152.7182, 3.141592.71828,…}

Κάθε όρος της τελευταίας πραγματικής (αυτή τη φορά) ακολουθίας (Cauchy) αναπαριστάνεται, λοιπόν, μέσω του πολλαπλασιασμού πραγματικών σταθερών, όπως είδαμε στο παράδειγμα με τον ρητό εκθέτη παραπάνω. Ο πολλαπλασιασμός πραγματικών σταθερών, όμως, και επομένως οποιαδήποτε δύναμη με βάση και εκθέτη πραγματικές σταθερές, θεμελιώνεται πάνω στον πολλαπλασιασμό ρητών σταθερών, ο οποίος φυσικά θεμελιώνεται πάνω στον πολλαπλασιασμό ακεραίων. Το να λέμε ότι η δύναμη (με βάση και εκθέτη πραγματικές σταθερές) 00 ορίζεται ή δεν ορίζεται με βάση την έννοια του ορίου της ανάλυσης,  είναι σαν να λέμε ότι ορίζεται ή δεν ορίζεται το γινόμενο δύο επί πέντε με βάση την ίδια έννοια. Δεν ορίζεται με βάση αυτήν την έννοια (βλ. CAUCHY’S CONSTRUCTION OF ℝ). Επομένως, το αν θα οριστεί ή όχι η δύναμη 00 είναι ζήτημα ενός περισσότερο θεμελιώδους επιπέδου, αυτού των ακέραιων αριθμών, και όχι της της ανάλυσης και των ορίων.

Γ) Η μαθηματική λογική συμφωνεί: οι μετα-μαθηματικές περιγραφές δεν μπορεί να μπερδεύονται με τα συντακτικά αντικείμενα

Μπορούμε, αν θέλουμε, να ονομάσουμε την έννοια του ορίου μιας δύναμης της οποίας τόσο η βάση όσο και ο εκθέτης είναι συναρτήσεις της ίδιας μεταβλητής οι οποίες συγκλίνουν στο 0 ή την έννοια του ότι η διμεταβλητή συνάρτηση f(x,y) = xy δεν είναι συνεχής στο (0,0) “απροσδιόριστη μορφή 00”, όπως ακριβώς μπορούμε να ονομάσουμε αυτές τις έννοιες “απροσδιόριστη μορφή 4” (πχ στην περίπτωση που αυτή η “απροσδιόριστη μορφή” είναι τέταρτη μεταξύ άλλων σε μια λίστα με «απροσδιόριστες μορφές»). Μήπως σε μια περίπτωση όπως η τελευταία θα λέγαμε ότι δεν ορίζεται η πραγματική σταθερή 4;

Δ) Η καθολική μαθηματική αρχή του κενού γινομένου

Το κενό γινόμενο ορίζεται στα μαθηματικά ως γινόμενο με μηδενικό πλήθος παραγόντων και ίσο με το το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού, δηλαδή το 1 – σε αντιστοιχία με το κενό άθροισμα, το οποίο ορίζεται ως άθροισμα με μηδενικό πλήθος όρων και ίσο με το ουδέτερο στοιχείο ως προς την πρόσθεση, δηλαδή το 0. Ουσιαστικά, όταν λέμε, για παράδειγμα, 20=1, εφαρμόζουμε την αρχή του κενού γινομένου:

Εάν υπάρχει γινόμενο με κανένα δυάρι (=20=1), με κανένα άσσο (=10=1), με κανένα τριάρι (=30=1), κοκ, για ποιο λόγο άραγε να μην υπάρχει γινόμενο με κανένα μηδέν (=00=1);

Ε) Οι αλγόριθμοι συμφωνούν

Έστω ότι η παραπάνω συνάρτηση στην εκπαιδευτική γλώσσα προγραμματισμού του ΑΕΠΠ έχει κατασκευαστεί για τον υπολογισμό της νιοστής δύναμης του φυσικού αριθμού μ≠0, με ν φυσικό αριθμό. Χωρίς καμία αλλαγή, η παραπάνω συνάρτηση αν δεχτεί ως ορίσματα τα ν=0 και μ=0 δίνει 1!

ΣΤ) Η ανάλυση συμφωνεί

Και οι πέτρες στην ανάλυση ξέρουν ότι η σειρά Taylor με κέντρο το 0 για την συνάρτηση ex είναι:

Με άλλα λόγια,  για κάθε x:

Από την προηγούμενη σχέση, για x=0 (εφόσον ισχύει για κάθε x) παίρνουμε:

(Συμφωνούμε όλοι, φαντάζομαι,  ότι 0!=1)


Ας δούμε, όμως, ένα παράδειγμα από το βιβλίο μαθηματικών προσανατολισμού Γ’ ΓΕΛ (σ.48), όπου παρατίθεται η παρακάτω συνέπεια (προηγούμενα παρουσιαζόμενου) θεωρήματος, με την προϋπόθεση ότι υπάρχει το όριο της συνάρτησης f(x) καθώς το x τείνει στο x0:

Παρατηρείστε την εξαίρεση του 0 από τις τιμές του φυσικού αριθμού ν. Γιατί, άραγε, αυτή η εξαίρεση, γιατί δεν ισχύει η παρακάτω σχέση;

Ας κάνουμε μία διερεύνηση. Με βάση την αρχή του αποκλειόμενου τρίτου, διακρίνουμε τις εξής δύο περιπτώσεις:

i) Υπάρχει δ>0 τέτοιο ώστε για κάθε x το οποίο ανήκει στο ( x0-δ, x0 )∪( x0 , x0+δ) να ισχύει f(x) ≠ 0.

Επομένως, υπάρχει διάστημα της μορφής ( x0-δ, x0 )∪( x0 , x0+δ) με δ>0 όπου:

(f(x))0=1

Οπότε:

Διακρίνουμε, τώρα, τις εξής δύο υποπεριπτώσεις:

i.i) Το όριο της f(x) καθώς το x τείνει στο x0 είναι διάφορο του 0:

Οπότε:

Συνεπώς, η (2) ισχύει σ’ αυτήν την περίπτωση.

i.ii) Το όριο της f(x) καθώς το x τείνει στο x0 είναι ίσο με 0:

Σ’ αυτήν την περίπτωση, «δεν ορίζεται» η παρακάτω δύναμη με βάση και εκθέτη την πραγματική σταθερή 0:

Όμως, αυτό είναι σαν να μην ορίζεται το παραπάνω αν δεν έχουμε ορίσει το 20 (=1),  το όριο της f(x) καθώς το x τείνει στο x0 να είναι ίσο με 2 και να υπάρχει δ>0 τέτοιο ώστε για κάθε x το οποίο ανήκει στο ( x0-δ, x0 )∪( x0 , x0+δ) να ισχύει f(x) ≠ 2. Αν είχαμε ορίσει 20=1, δεν θα υπήρχε κανένα (τουλάχιστον γνωστό) πρόβλημα. Το ίδιο ισχύει προφανώς και στην δεδομένη περίπτωση αν ορίσουμε 00=1!

ii) Για κάθε δ>0 υπάρχει x το οποίο ανήκει στο ( x0-δ, x0 )∪( x0 , x0+δ) τέτοιο ώστε f(x) = 0 (λογική άρνηση της i)).

Επομένως, η (f(x))0 «δεν ορίζεται» σε διάστημα της μορφής ( x0-δ, x0 )∪( x0 , x0+δ) με δ>0, οπότε ούτε συζήτηση για το όριό της καθώς το x τείνει στο x0. Η (f(x))0 «δεν ορίζεται» σε ένα τέτοιο διάστημα γιατί (και πάλι) θεωρείται ότι δεν ορίζεται η δύναμη με βάση και εκθέτη την πραγματική σταθερή 0. Κάνοντας τον σχετικό παραλληλισμό όπως στην περίπτωση i.ii), είναι σαν μην έχουμε ορίσει 20 (=1) και… για κάθε δ>0 να υπάρχει x το οποίο ανήκει στο ( x0-δ, x0 )∪( x0 , x0+δ) τέτοιο ώστε f(x) = 2. Ισχύουν τα ίδια συμπεράσματα με την περίπτωση i.ii).

Από τα παραπάνω συνεπάγεται ότι αν ορίζαμε 00=1, τότε η (2) θα ήταν θεώρημα!


Ένα άλλο παράδειγμα από το βιβλίο μαθηματικών προσανατολισμού Γ’ ΓΕΛ (σ. 106), όπου αναφέρεται ο γνωστός κανόνας παραγώγισης:

(xν)’ = νxν-1, για ν∈ℕ\{0,1}

Προσέξτε εδώ την εξαίρεση για ν=1. Αν είχε οριστεί 00=1, θα είχαμε:

(x1)’ = 1x1-1  = x0 = 1

Δηλαδή, το ίδιο ακριβώς αποτέλεσμα που παίρνουμε χωρίς τον ορισμό 00=1, χωρίς να είναι αναγκαία η εξαίρεση, αλλά ούτε και το επιπλέον θεώρημα (x)’ = 1.


Τέλος, ένα παράδειγμα από το βιβλίο μαθηματικών της Γ’ Γυμνασίου, όπου (σ.33) το μηδενικό πολυώνυμο εξαιρείται από τον κανόνα του βαθμού 0 για τα σταθερά πολυώνυμα και θεωρείται ότι «δεν έχει βαθμό».

Αν ορίζαμε 00=1, ο ορισμός του πολυωνύμου γίνεται, γρήγορα και κομψά:

Οπότε, ο βαθμός του πολυωνύμου μπορεί να οριστεί, εξίσου γρήγορα και κομψά, ως:

το ελάχιστο κ, για το οποίο ισχύει ότι για κάθε μ≤ν, αν μ>κ, τότε αμ= 0.

Οπότε, ο βαθμός του μηδενικού πολυωνύμου γίνεται 0 (όπως και των υπόλοιπων σταθερών πολυωνύμων), χωρίς κανένα απολύτως (γνωστό) πρόβλημα.


Το γενικό συμπέρασμα είναι το εξής:

Αν δεν ορίζονται όσα μπορεί να ορίζονται, όπως άλλωστε γίνεται σε πλήθος περιπτώσεων, αυξάνεται το πλήθος των εξαιρέσεων και μειώνεται το πλήθος των θεωρημάτων. Τα μαθηματικά της εποχής μας δεν λειτουργούν έτσι!

Ζ) Η στοιχειώδης άλγεβρα συμφωνεί

Παρακάτω παρατίθεται το διωνυμικό θεώρημα, στην διεθνώς κοινή του μορφή:

Απαιτεί τον ορισμό 00=1.

Η) Η συνδυαστική συμφωνεί

Δεδομένου ενός πεπερασμένου συνόλου Σ με κ∈ℕ πλήθος στοιχείων, το πλήθος των δυνατών ν-άδων οι οποίες μπορούν να σχηματιστούν με τα στοιχεία του Σ είναι κν. Επομένως, το πλήθος των δυνατών 0-άδων οι οποίες μπορούν να σχηματιστούν από στοιχεία του κενού συνόλου είναι 00=1, το οποίο ισχύει προφανώς.

Θ) Το Google συμφωνεί

.

.

.

Γιώργος Μπουγιούκας