Γιατί 0,999… = 1 και κάποιες σημειώσεις πάνω στην ισότητα πραγματικών αριθμών

Γνωρίζουμε ότι δύο πραγματικοί αριθμοί είναι ίσοι αν και μόνο αν η διαφορά τους είναι ίση με 0. Γνωρίζουμε, ακόμα, ότι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί έχουν άπειρα δεκαδικά ψηφία, για την ακρίβεια τόσα όσοι είναι και οι φυσικοί αριθμοί: σε κάθε φυσικό αριθμό αντιστοιχίζεται και ένα δεκαδικό ψηφίο στην αντίστοιχη θέση (η πρώτη θέση από αριστερά είναι η 0, η δεύτερη η 1, κοκ – ο πρώτος φυσικός αριθμός είναι πάντα το 0). Αυτή η συνάρτηση από τους φυσικούς αριθμούς (“άπειρη ακολουθία”) είναι σημαντική, διότι, για παράδειγμα, ο συμβολισμός 0,000…1 (τον οποίο κάπου έχει πάρει το μάτι μου), με τον υπαινιγμό άπειρα μηδενικά δεκαδικά και στο τέλος το ένα, δεν είναι πραγματικός αριθμός, αφού δεν υπάρχει “τελευταίος” φυσικός αριθμός (στον οποίο θα αντιστοιχούσε ο άσσος). Ακόμα και αν ένας αριθμός είναι ακέραιος, όπως το 1, ως πραγματικός αναπαριστάνεται ως 1,000… Θα δείξουμε, λοιπόν, ότι η παρακάτω αφαίρεση δίνει αποτέλεσμα 0:

Θα δείξουμε πρώτα ότι κάθε δεκαδικό ψηφίο του παραπάνω αποτελέσματος είναι ίσο με 0. Θα το δείξουμε αυτό θεωρώντας ένα τυχαίο δεκαδικό ψηφίο, χωρίς κάποια ιδιαίτερη ιδιότητα, επομένως μ’ αυτόν τον τρόπο θα το έχουμε δείξει για κάθε δεκαδικό ψηφίο. Έστω, λοιπόν, το τυχαίο δεκαδικό ψηφίο στην (δεκαδική) θέση k του παραπάνω αποτελέσματος. Το τελευταίο υπολογίζεται αν στο 9 προσθέσουμε το δανεικό (αν υπάρχει) το οποίο πάρθηκε στην (δεκαδική) θέση k+1, και αφαιρέσουμε αυτό το άθροισμα από το 10 (δανειζόμαστε σίγουρα στην θέση k, εφόσον η αφαίρεση του 9 ή του 9+1=10 από το 0 δίνει αρνητικό αποτέλεσμα). Το δανεικό στην θέση k+1 σίγουρα υπάρχει (αφού ανεξάρτητα από το αν υπάρχει δανεικό στην θέση k+2, χρειάζεται ήδη για την αφαίρεση του 9 από το 0), επομένως για την θέση k του αποτελέσματος γίνεται η αφαίρεση 10-(9+1), η οποία δίνει 0.

Θα δείξουμε τώρα ότι και αριστερά της υποδιαστολής του παραπάνω αποτελέσματος προκύπτει το 0. Θεωρώντας την δεκαδική θέση 0 (την πρώτη από αριστερά δεκαδική θέση), παρατηρούμε ότι υπάρχει σίγουρα δανεικό, οπότε αριστερά της υποδιαστολής έχουμε το αποτέλεσμα της αφαίρεσης 1-(0+1) = 0.

Επομένως, το αποτέλεσμα είναι:

0,000… = 0

Σημειώσεις πάνω στην ισότητα πραγματικών αριθμών

-Δύο άρρητοι αριθμοί είναι ίσοι αν και μόνο αν τα ακέραια μέρη τους είναι ίσα και για κάθε φυσικό αριθμό k ισχύει ότι το δεκαδικό ψηφίο του ενός στην θέση k είναι ίσο με το δεκαδικό ψηφίου του άλλου στην θέση k. Σημειώνεται ότι το ακέραιο μέρος ενός πραγματικού αριθμού ορίζεται ως ο μεγαλύτερος ακέραιος ο οποίος είναι μικρότερος ή ίσος του αριθμού. Έτσι, το ακέραιο μέρος του 0,1 είναι το 0, ενώ το ακέραιο μέρος του -0,1 είναι το -1.

-Κάθε ρητός δεκαδικός αριθμός, εκτός από το 0, με περίοδο το 0, είναι ίσος με έναν ρητό δεκαδικό αριθμό με περίοδο το 9.

Για παράδειγμα (οι τρεις τελείες “…” υποδεικνύουν περίοδο το 9), 3 = 2,999…, 1 = 0,999…, 10 = 9,999…, -3 = -2,999…, -1 = -0,999…, -10 = -9,999…, 2,46 = 2,45999…, -1,387 = -1,386999… κλπ.

– Το πρόβλημα της ισότητας δύο πραγματικών αριθμών είναι μη-αποφασίσιμο.

Ένα μαθηματικό πρόβλημα ορίζεται ως πρόβλημα απόφασης αν η απάντηση σ’ αυτό το πρόβλημα είναι της μορφής ΝΑΙ-ΟΧΙ.

Για παράδειγμα, με δεδομένο έναν φυσικό αριθμό, είναι ο αριθμός αυτός άρτιος, ή με δεδομένους δύο πραγματικούς αριθμούς, είναι αυτοί ίσοι;

Κάθε συγκεκριμένη μορφή δεδομένων ενός προβλήματος ονομάζεται στιγμιότυπο του προβλήματος. Για παράδειγμα για το πρόβλημα της ισότητας δύο πραγματικών αριθμών, το σύνολο όλων των στιγμιοτύπων του προβλήματος είναι όλα τα ζεύγη πραγματικών αριθμών.

Ένα πρόβλημα απόφασης είναι αποφασίσιμο όταν υπάρχει πρόγραμμα για έναν σύγχρονο ηλεκτρονικό υπολογιστή, το οποίο επιλύει σωστά το πρόβλημα για κάθε στιγμιότυπο του προβλήματος.

Ένα πρόβλημα απόφασης είναι μη-αποφασίσιμο αν δεν είναι αποφασίσιμο, δηλαδή αν κάθε πρόγραμμα για έναν σύγχρονο ηλεκτρονικό υπολογιστή αποτυχαίνει να δώσει σωστή απάντηση στο πρόβλημα για τουλάχιστον ένα στιγμιότυπο του προβλήματος.

Να σημειώσουμε εδώ, ότι ένας σύγχρονος ηλεκτρονικός υπολογιστής είναι η ισχυρότερη υπολογιστική μηχανή που έχει ανακαλύψει ο άνθρωπος μέχρι τώρα, όχι μόνο ποσοτικά αλλά και ποιοτικά, με άλλα λόγια σε 4.000 περίπου χρόνια μαθηματικής ιστορίας κανείς δεν έχει παρουσιάσει κάποιον υπολογισμό με χαρτί και μολύβι ή με οποιοδήποτε άλλο μέσο, ο οποίος να μην μπορεί να προσομοιωθεί από έναν σύγχρονο ηλεκτρονικό υπολογιστή. Η υπόθεση ότι μια ισχυρότερη υπολογιστική μηχανή δεν υπάρχει, είναι γνωστή ως “θέση Church-Turing”).

Το πρόβλημα της ισότητας δύο ρητών αριθμών είναι αποφασίσιμο, αφού ο ορισμός της ισότητας δύο ρητών αριθμών είναι και πρόγραμμα το οποίο την αποφασίζει:

Για παράδειγμα, το παρακάτω πρόγραμμα σε γλώσσα προγραμματισμού ΑΕΠΠ αποφασίζει το πρόβλημα:

Υποψιαζόμασταν ότι αυτό το πρόγραμμα υπάρχει, αφού εύκολα μπορούμε να αποφασίσουμε το πρόβλημα με χαρτί και μολύβι: μάλλον δεν καταρρίπτεται έτσι εύκολα η θέση Church-Turing.

Όμως, στα μαθηματικά οι ορισμοί δεν είναι πάντα και προγράμματα που μπορούν να αποφασίσουν αυτό που ορίζουν. Ο ορισμός της ισότητας για τους πραγματικούς αριθμούς, είναι χαρακτηριστικό παράδειγμα:

Ορίζουμε πρώτα την ισότητα με το 0:

Ένας πραγματικός αριθμός είναι ίσος με το 0, αν και μόνο αν το ακέραιο μέρος του είναι ίσο με 0 και κάθε δεκαδικό ψηφίο του είναι ίσο με 0.

Οπότε, μπορούμε τώρα να ορίσουμε γενικότερα την ισότητα οποιωνδήποτε δύο πραγματικών αριθμών:

Δύο πραγματικοί αριθμοί είναι ίσοι αν και μόνο αν η διαφορά τους είναι ίση με 0.

Σημειώστε ότι ο προηγούμενος ορισμός ορίζει την ισότητα πραγματικών αριθμών όπως ακριβώς ο ορισμός της ισότητας ρητών ορίζει την ισότητα ρητών αριθμών, τουλάχιστον όσον αφορά το ότι γίνεται με βάση το “χαμηλότερο” επίπεδο των ακέραιων αριθμών!

Ο ορισμός αυτός, όμως, υπαγορεύει και κάποιο πρόγραμμα, το οποίο αποφασίζει το πρόβλημα της ισότητας δύο πραγματικών αριθμών για κάθε ζεύγος πραγματικών αριθμών, όπως συμβαίνει και με τον ορισμό της ισότητας των ρητών αριθμών; Είδαμε παραπάνω ότι αυτό μπορεί να γίνει για τους πραγματικούς αριθμούς 1 και 0,999…Ας εξετάσουμε ένα άλλο στιγμιότυπο του προβλήματος:

Είναι ίσοι οι πραγματικοί, και μάλιστα άρρητοι, αριθμοί π και e;

Υπολογίζουμε κάποιο ικανό πλήθος δεκαδικών ψηφίων του αποτελέσματος της αφαίρεσης π-e:

Παρατηρούμε ότι το αποτέλεσμα σίγουρα είναι 0 αριστερά της υποδιαστολής αφού στην δεκαδική θέση 0 υπάρχει δανεισμός, ενώ το δεκαδικό ψηφίο στην θέση 0 είναι το 4, αφού στην δεκαδική θέση 1 δεν γίνεται δανεισμός, ανεξάρτητα από το τι γίνεται στην θέση 2! Επομένως, έχουμε π-e ≥ 0,4, επομένως η διαφορά είναι διάφορη του 0, επομένως οι αριθμοί αυτοί δεν είναι ίσοι.

Τι γίνεται, όμως, με το ακόλουθο στιγμιότυπο του προβλήματος;

Είναι ίσοι οι πραγματικοί αριθμοί 0 και d; – όπου ο d ορίζεται ως εξής:

Ακέραιο μέρος ίσο με 0 και:
Δεκαδικό ψηφίο στην θέση 0: 0 αν αριθμός 4 εκφράζεται ως άθροισμα δύο πρώτων, αλλιώς 1
Δεκαδικό ψηφίο στην θέση 1: 0 αν αριθμός 6 εκφράζεται ως άθροισμα δύο πρώτων, αλλιώς 1
Δεκαδικό ψηφίο στην θέση 2: 0 αν αριθμός 8 εκφράζεται ως άθροισμα δύο πρώτων, αλλιώς 1

Υπενθυμίζεται ότι πρώτος είναι ο φυσικός αριθμός του οποίου το σύνολο των διαιρετών έχει πλήθος στοιχείων ίσο με 2. Για παράδειγμα το 0 δεν είναι πρώτος, αφού έχει άπειρους διαιρέτες, το 5 είναι, αφού το σύνολο των διαιρετών του είναι το {1,5}, ενώ το 8 δεν είναι αφού το σύνολο {1,2,8} είναι υποσύνολο του συνόλου των διαιρετών του.

Σημειώστε ότι φυσικά υπάρχει πρόγραμμα το οποίο αποφασίζει αν ένας άρτιος φυσικός αριθμός εκφράζεται ή δεν εκφράζεται ως άθροισμα δύο πρώτων, δηλαδή αποφασίζει το νιοστό δεκαδικό ψηφίο του d, όπως ακριβώς συμβαίνει και με τον πραγματικό αριθμό π ή e. Τέτοιου είδους πραγματικοί αριθμοί λέγονται υπολογίσιμοι.

Είναι προφανές ότι ο αριθμός d είναι ίσος με το 0 αν και μόνο αν κάθε άρτιος φυσικός αριθμός μεγαλύτερος του 2 εκφράζεται ως άθροισμα δύο πρώτων. Αυτή, όμως, είναι και η διατύπωση του περίφημου μαθηματικού προβλήματος το οποίο είναι γνωστό ως η εικασία του Goldbach, το οποίο παραμένει άλυτο εδώ και τουλάχιστον 250 χρόνια. Αν ήταν έτσι εύκολο να έχουμε ένα πρόγραμμα που να αποφασίζει την ισότητα πραγματικών αριθμών, θα είχαμε λύσει και την εικασία του Goldbach. Αυτό, βέβαια, δεν αποδεικνύει ότι το πρόγραμμα αυτό δεν υπάρχει, αλλά μόνο ότι δεν το έχουμε ανακαλύψει ως τώρα. Ωστόσο, αποδεικνύεται μαθηματικά, πράγματι, ότι ένα τέτοιο πρόγραμμα δεν υπάρχει.

Γιώργος Μπουγιούκας

Μια αυστηρή διατύπωση της εικασίας του Goldbach

gc

Ο παραπάνω ορισμός αποδεικνύεται μάλλον εύκολα αν λάβουμε υπόψη μας ότι το κενό γινόμενο είναι ίσο με 1, καθώς και το παρακάτω θεώρημα (Zinn, 2016) για κάθε φυσικό αριθμό i>1:

th