Λογική και εξισώσεις

equ_equ

Σημειώσεις πάνω στο θεώρημα Bolzano

Το θεώρημα Bolzano, σύμφωνα με την διατύπωση του σχολικού βιβλίου, είναι:

i)   Απόδειξη «σχολίου» του σχολικού βιβλίου Μαθηματικών Προσανατολισμού

Θα αποδείξουμε τον ισχυρισμό που εμφανίζεται στο σχόλιο για το θεώρημα Bolzano στο σχολικό βιβλίο στην σελίδα 74:

«Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται σ’ αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε x∈Δ ή είναι αρνητική για κάθε x∈Δ, δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ»

Απόδειξη:

Θα δείξουμε το ζητούμενο με απαγωγή σε άτοπο.

Υποθέτουμε ότι υπάρχει συνάρτηση f συνεχής στο Δ και χωρίς να μηδενίζεται σ’ αυτό, για την οποία ισχύουν και οι δύο παρακάτω ισχυρισμοί:

f(x)>0, για κάθε x∈Δ   (1)

f(x)<0, για κάθε x∈Δ   (2)

Από τον (1), αφού το Δ δεν είναι το κενό σύνολο, συνεπάγεται ότι υπάρχει x∈Δ τέτοιο ώστε f(x)>0, ενώ από τον (2) συνεπάγεται ότι δεν υπάρχει x∈Δ τέτοιο ώστε f(x)≥0, από το οποίο συνεπάγεται ότι δεν υπάρχει x∈Δ τέτοιο ώστε f(x)>0, άτοπο.

Υποθέτουμε τώρα ότι υπάρχει συνάρτηση f συνεχής στο Δ και χωρίς να μηδενίζεται σ’ αυτό, για την οποία δεν ισχύει κανένας από τους ισχυρισμούς (1), (2), με άλλα λόγια ισχύουν και οι δύο παρακάτω ισχυρισμοί:

Υπάρχει (τουλάχιστον ένα) x∈Δ τέτοιο ώστε f(x)≤0  (3)

Υπάρχει (τουλάχιστον ένα) x∈Δ τέτοιο ώστε f(x)≥0  (4)

Με βάση τον (3) θεωρούμε ένα στοιχείο α του Δ με f(α)≤0, και επειδή η f από την υπόθεσή μας δεν μηδενίζεται στο Δ, συνεπάγεται f(α)<0. Με βάση τον (4) θεωρούμε ένα στοιχείο β του Δ με f(β)≥0, και επειδή η f από την υπόθεσή μας δεν μηδενίζεται στο Δ, συνεπάγεται f(β)>0. Από τα προηγούμενα συνεπάγεται ότι f(α)∙f(β)<0, αλλά και α≠β (από τον ορισμό της συνάρτησης, αφού f(α)≠f(β)). Ακόμη, η f είναι συνεχής στο [α,β], εφόσον από την υπόθεσή μας είναι συνεχής στο Δ.

Θεωρώντας ότι α<β (δεν αλλάζει κάτι ουσιαστικά στην απόδειξη αν θεωρήσουμε την άλλη επιλογή, δηλαδή α>β), από το θεώρημα Bolzano (του οποίου οι προϋποθέσεις ισχύουν για το διάστημα [α,β] από την προηγούμενη παράγραφο), παίρνουμε ότι υπάρχει (τουλάχιστον ένα) x0∈(α,β), και επομένως υπάρχει (τουλάχιστον ένα) x0∈Δ όπου η f μηδενίζεται, άτοπο, αφού με βάση την υπόθεσή μας η f δεν μηδενίζεται στο Δ.

Επομένως, για τους ισχυρισμούς (1), (2) αποδείξαμε ότι δεν μπορεί να ισχύουν και οι δύο μαζί, αλλά δεν μπορεί να μην ισχύει και κανένας, άρα ισχύει ακριβώς ένας, αυτό που έπρεπε να δείξουμε. ∎

ii) Μια άλλη συνέπεια του θεωρήματος Bolzano

Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν δεν υπάρχει (κανένα) x0∈(α,β) τέτοιο ώστε f(x0)=0 (δηλαδή αν η εξίσωση f(x)=0 δεν έχει καμία ρίζα στο (α,β)), τότε ισχύει τουλάχιστον ένας από τους παρακάτω δύο ισχυρισμούς:
– Η f δεν είναι συνεχής στο [α,β] (5)
– f(α)∙f(β)≥0 (6)

Απόδειξη*:

Θα δείξουμε το ζητούμενο με απαγωγή σε άτοπο.

Υποθέτουμε ότι ο παραπάνω ισχυρισμός δεν ισχύει. Επομένως, υπάρχει συνάρτηση f ορισμένη στο [α,β] για την οποία δεν υπάρχει (κανένα) x0∈(α,β) τέτοιο ώστε f(x0)=0, χωρίς όμως να ισχύει τουλάχιστον ένας από τους παραπάνω ισχυρισμούς (5), (6). Ισχύει, δηλαδή, ότι και οι δύο ισχυρισμοί (5), (6) δεν ισχύουν, με άλλα λόγια ισχύει ότι η f είναι συνεχής στο [α,β] και f(α)∙f(β)<0.

Αφού, όμως, ισχύει ότι f είναι συνεχής στο [α,β] και f(α)∙f(β)<0, από το θεώρημα Bolzano παίρνουμε ότι υπάρχει (τουλάχιστον ένα) x0∈(α,β) τέτοιο ώστε f(x0)=0, το οποίο έρχεται σε αντίφαση με το συμπέρασμα που προκύπτει από την υπόθεσή μας σύμφωνα με το οποίο δεν υπάρχει (κανένα) x0∈(α,β) τέτοιο ώστε f(x0)=0. ∎

Εφαρμογή

Ισχύει ή όχι ο παρακάτω ισχυρισμός;

Αν μια συνάρτηση f ορισμένη στο [α,β] δεν μηδενίζεται στο (α, β) και επιπλέον ισχύει f(α)>0 και f(β)<0, τότε η f δεν είναι συνεχής στο [α,β].

Απάντηση:

Αφού η f δεν μηδενίζεται στο (α,β), από την ii) συνεπάγεται ότι ισχύει τουλάχιστον ένας από τους ισχυρισμούς (5), (6). Όμως, ο (6) αποκλείεται να ισχύει αφού από την υπόθεσή μας παίρνουμε ότι f(α)∙f(β)<0. Άρα, ισχύει ο (5), δηλαδή η f δεν είναι συνεχής στο [α,β]. Ο παραπάνω ισχυρισμός, επομένως, ισχύει.


* Η ii) προκύπτει και μέσω του νόμου της Μαθηματικής Λογικής ο οποίος είναι γνωστός ως «αντιθετοαντιστροφή» και μας λέει ότι αν p, q είναι δύο ισχυρισμοί, τότε οι παρακάτω δύο ισχυρισμοί είναι ισοδύναμοι:

  • p ⇒ q
  • όχι q ⇒ όχι p

Για την απόδειξη της ii) μ’ αυτόν τον τρόπο θα χρειαστούμε επιπλέον και τον ακόλουθο νόμο της Μαθηματικής Λογικής:

Η άρνηση του ισχυρισμού «ισχύει ο ισχυρισμός r1 και (επιπλέον) ο r2»  είναι ισοδύναμη με τον παρακάτω ισχυρισμό:

Ισχύει τουλάχιστον ένας από τους παρακάτω ισχυρισμούς:

α) δεν ισχύει ο r1

β) δεν ισχύει ο r2

Αυτός ο τελευταίος νόμος της Μαθηματικής Λογικής είναι γνωστός και ως ένας από τους «Νόμους De Morgan»  (ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η χρήση αυτών των νόμων και στο μάθημα της ΑΕΠΠ! – βλ. την δημοσίευση Σχετικά με το θέμα Α1 των πανελλαδικών της ΑΕΠΠ του 2017.)

Οπότε, θεωρώντας τους παρακάτω τρεις ισχυρισμούς για κάθε συνάρτηση f ορισμένη σε κάποιο [α,β],

Η f είναι συνεχής στο [α,β]  (7)

f(α)∙f(β)<0  (8)

Υπάρχει (τουλάχιστον ένα) x0∈(α,β) τέτοιο ώστε f(x0)=0  (9),

το θεώρημα Bolzano είναι η συνεπαγωγή, για κάθε συνάρτηση f ορισμένη σε κάποιο [α,β]:

(Ισχύει ο (7) και επιπλέον ο (8)) ⇒ (9)

Μέσω αντιθετοαντιστροφής, παίρνουμε:

όχι (9) ⇒ όχι (Ισχύει ο (7) και επιπλέον ο (8))

Και μέσω του Νόμου De Morgan:

όχι (9) ⇒ ισχύει τουλάχιστον ένας από τους (όχι (7)), (όχι (8))

Γιώργος Μπουγιούκας

Μια παρατήρηση περί Μαθηματικής Λογικής σε άσκηση του βιβλίου Μαθηματικών της Β’ Γυμνασίου

Στην σελίδα 43 του σχολικού βιβλίου Μαθηματικών της Β’ Γυμνασίου υπάρχει η εξής άσκηση:

Καταρχάς, υποθέτουμε ότι η εκφώνηση εννοεί “Για κάθε θετικό αριθμό x, στις παρακάτω προτάσεις επιλέξτε τη σωστή απάντηση”. Πολλές φορές στα Μαθηματικά χρειάζεται να υποθέσουμε αυτό το “για κάθε” το οποίο δεν λέγεται ρητά. Αυτό ίσως δεν είναι πρόβλημα για κάποιον που έχει κάποια εξοικείωση με τα Μαθηματικά, ωστόσο θεωρώ δεν ενδείκνυται κατά την διδασκαλία των Μαθηματικών σε αρχάριους. Η έννοια μιας ιδιότητας η οποία αφορά όλα τα στοιχεία ενός συνόλου, η οποία ισχύει για κάθε στοιχείο ενός συνόλου, είναι απλή στην κατανόηση όσο και στοιχειώδης για τα Μαθηματικά. Δεν βλέπω κάποιον λόγο για να υπονοείται χωρίς να λέγεται ρητά, ειδικά σε τέτοιες περιπτώσεις. Και είναι κάτι που συμβαίνει ακόμα και σε θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων, για παράδειγμα στο θέμα Α1 των Πανελλαδικών του 2017:

Φυσικά, αυτό που εννοείται είναι “Για κάθε συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ, αν f'(x)>0 …”.

Ας υποθέσουμε όμως ότι κάτι τέτοιο δεν δημιουργεί πρόβλημα εδώ – έχουμε κατανοήσει καλά τη σημασία του “για κάθε” – και ας εστιάσουμε στο ερώτημα 3 της άσκησης. Καλούμαστε, λοιπόν, δεδομένης της “υπόθεσης” (), να βρούμε το “συμπέρασμα” (ένα (;) από τα Α, Β, Γ, Δ, Ε) σ’ έναν “τύπο” της μορφής (έτσι ώστε ο τελευταίος να είναι αληθής):

Αν “ΥΠΟΘΕΣΗ”, ΤΟΤΕ “ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ”

Ένας τύπος αυτής της μορφής είναι γνωστός και ως “λογική συνεπαγωγή”, ή απλά “συνεπαγωγή”, και εκφράζεται συχνά με .

Το θέμα εδώ είναι ότι η υπόθεση  είναι ψευδής για κάθε θετικό αριθμό x, γεγονός το οποίο μας επιτρέπει να επιλέξουμε ως σωστές όλες (!) τις πιθανές απαντήσεις, δηλαδή την Α, την Β, την Γ, την Δ και την Ε.  Αυτό συμβαίνει διότι στα Μαθηματικά ένας τύπος της μορφής Αν “ΥΠΟΘΕΣΗ”, ΤΟΤΕ “ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ” είναι αληθής ανεξάρτητα από το συμπέρασμα, αν η υπόθεση είναι ψευδής. Κάτι τέτοιο είναι σύμφωνο με την κοινή λογική, και τα Μαθηματικά διέπονται από την κοινή λογική.

Ας δούμε ένα παράδειγμα από την καθομιλουμένη, μία πρόταση η οποία προσιδιάζει στην μορφή της λογικής συνεπαγωγής, την οποία θα ονομάσουμε Π1 :

Αν βρέχει, τότε έχει συννεφιά (Π1)

Διάλεξα το παραπάνω παράδειγμα επίτηδες, για να δείξω ότι το μαθηματικό/λογικό σχήμα “υπόθεση-συμπέρασμα” δεν πρέπει να συγχέεται με το «φυσικό» σχήμα “αίτιο-αποτέλεσμα” – η βροχή, προφανώς, δεν είναι το φυσικό αίτιο της συννεφιάς!

Καταρχάς, η Π1 δεν μας δίνει καμία πληροφορία, ούτε για το αν βρέχει, ούτε για το αν έχει συννεφιά, με άλλα λόγια δεν μας δίνει καμία πληροφορία ούτε για την υπόθεση την ίδια, ούτε για το συμπέρασμα το ίδιο (αντίστροφα, όμως, άραγε η ισχύς ή μη της υπόθεσης της ίδιας, ή η ισχύς ή μη του συμπεράσματος του ίδιου, μας δίνουν κάποια πληροφορία για την ισχύ της Π1 ; Θα το δούμε παρακάτω). Μας δίνει όμως την πληροφορία ότι στην περίπτωση που ισχύει η υπόθεση, τότε (υποχρεωτικά) ισχύει και το συμπέρασμα. Με άλλα λόγια, αρκεί να ισχύει η υπόθεση για να ισχύει το συμπέρασμα. Ή η ισχύς της υπόθεσης είναι ικανή συνθήκη ώστε να ισχύει το συμπέρασμα.

Ας θεωρήσουμε τώρα ότι η υπόθεση δεν ισχύει. Μεταβάλλει αυτό την ισχύ της πρότασης Π1; Δηλαδή, όταν δεν βρέχει, αλλάζει κάτι όσον αφορά την ισχύ της πρότασης “Αν βρέχει, τότε έχει συννεφιά”; Φυσικά και  δεν αλλάζει,  επομένως η μη ισχύς της υπόθεσης δεν επηρεάζει την ισχύ μιας πρότασης της μορφής της Π1.

Για να δούμε τι γίνεται όταν η υπόθεση ισχύει. Δύο περιπτώσεις έχουμε εδώ: είτε ισχύει το συμπέρασμα, είτε δεν ισχύει. Το να ισχύει το συμπέρασμα με βάση τα παραπάνω καθιστά την Π1 αληθή: απολύτως λογικό, βρέχει και έχει συννεφιά, η Π1 ισχύει. Αν όμως δεν ισχύει το συμπέρασμα, δηλαδή αν βρέχει και δεν έχει συννεφιά, τότε η αλήθεια της Π1 καταρρέει. Με άλλα λόγια η αλήθεια της Π1 καταρρέει μόνο αν βρέχει και δεν έχει συννεφιά. Σ’ όλες τις άλλες περιπτώσεις η Π1 παραμένει αληθής.

Αυτή είναι κοινή-καθημερινή λογική και στα Μαθηματικά αποκρυσταλλώνεται στον παρακάτω “πίνακα αλήθειας”, όπου παρουσιάζονται όλες οι δυνατές τιμές αλήθειας της υπόθεσης και του συμπεράσματος μαζί με την αντίστοιχη λογική αποτίμηση της συνεπαγωγής, δηλαδή του τύπου της μορφής ΑΝ “ΥΠΟΘΕΣΗ”, ΤΟΤΕ “ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ”:

Παρατηρείστε ότι όταν η υπόθεση είναι ψευδής δεν χρειάζεται να γνωρίζουμε το συμπέρασμα για να αποφασίσουμε την ισχύ της συνεπαγωγής, ανεξάρτητα από το συμπέρασμα η συνεπαγωγή είναι αληθής. Με άλλα λόγια, από μια ψευδή υπόθεση, μπορούμε να βγάλουμε οποιοδήποτε συμπέρασμα. Επομένως, στο 3ο ερώτημα της δεδομένης άσκησης όπου για κάθε θετικό αριθμό x η υπόθεση είναι ψευδής, μπορούμε να βγάλουμε οποιοδήποτε συμπέρασμα, για κάθε θετικό αριθμό x. Άρα, όλες οι δεδομένες απαντήσεις είναι σωστές (Α, Β, Γ, Δ και Ε).

Γιώργος Μπουγιούκας