Εκτός ΟΠ Θετικών Σπουδών η ΑΕΠΠ; Γιατί;

42474837_591290871287566_5460539674021855232_n

πηγή: Διάχυτος Υπολογισμός

Τα Μαθηματικά του Κωσταντίνου Δασκαλάκη

Με την ευκαιρία της πρόσφατης βράβευσης του κου Κωσταντίνου Δασκαλάκη, ας πούμε λίγα λόγια για τα Μαθηματικά για τα οποία έγινε αυτή η βράβευση:

Daskalakis was honored by the International Mathematical Union (IMU) for “transforming our understanding of the computational complexity of fundamental problems in markets, auctions, equilibria, and other economic structures.”
ΜΙΤ News: Constantinos Daskalakis wins prestigious Nevanlinna Prize

Πρόκειται, λοιπόν, για Μαθηματικά που βασίζονται κυρίως στο μαθηματικό αντικείμενο ονομάζεται Θεωρία Υπολογισμού (Theory of Computation) και κυρίως στον κλάδο του που ονομάζεται Θεωρία Πολυπλοκότητας (Computational Complexity Theory).

Αυτά τα μαθηματικά αντικείμενα διδάσκονται σχεδόν αποκλειστικά όσον αφορά το υποχρεωτικό κομμάτι των προγραμμάτων σπουδών, στα τμήματα Πληροφορικής της τριτοβάθμιας εκπαίδευσης – δεν θα βρει κανείς αυτά τα αντικείμενα στην λίστα των υποχρεωτικών μαθημάτων του Μαθηματικού του ΕΚΠΑ για παράδειγμα, τουλάχιστον έτσι όπως αναφέρει ο οδηγός σπουδών 2017-2018 ο οποίος ανακτήθηκε στις 6/8/2018. Εξάλλου, όπως ίσως εύκολα μπορεί να καταλάβει κανείς από τα ονόματα αυτών των μαθηματικών αντικειμένων, για να έχεις μια οποιαδήποτε επαφή μ΄ αυτά πρέπει να γνωρίζεις πολύ καλά Προγραμματισμό Υπολογιστών, αφού αφορούν την μελέτη ιδιοτήτων των Προγραμμάτων.

Ο Προγραμματισμός Υπολογιστών είναι θεμέλιο των Επιστημών σήμερα, παρόλα αυτά στην Ελλάδα το μάθημα αυτό είναι ένα πανελλαδικό μάθημα της γενικής εκπαίδευσης που διδάσκεται μόνο στην Β και Γ’ Λυκείου (ΑΕΠΠ) και μάλιστα λιγότερο από κάθε άλλο πανελλαδικό μάθημα (μόνο δύο ώρες στην Γ’ και μία ώρα στην Β’) – με μια μικρή εισαγωγή από το μονόωρο (!) μάθημα Πληροφορικής της Β’ Λυκείου. Ακόμα και με αυτές τις δύο ώρες ΑΕΠΠ, όμως, ένας μαθητής που έχει επιλέξει την κατεύθυνση Οικονομίας και Πληροφορικής μπορεί να έχει μια εικόνα για τα Μαθηματικά για τα οποία βραβεύτηκε ο Κωσταντίνος Δασκαλάκης. Το κεφάλαιο 5 μάλιστα του σχολικού βιβλίου περιλαμβάνει παράγραφο με θέμα «Πολυπλοκότητα Αλγορίθμων». Το ίδιο τυχεροί είναι και οι μαθητές του ΕΠΑΛ που εξετάζονται στο μάθημα Προγραμματισμός Υπολογιστών (με Python). Δυστυχώς αυτό δεν συμβαίνει με τους υποψήφιους της Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών από την οποία έχει αποκλειστεί το μάθημα της Πληροφορικής (πρακτικά και ουσιαστικά, αφού δεν εξετάζεται στις Πανελλαδικές), λες και η Πληροφορική δεν είναι πρώτα από όλα Θετική Επιστήμη!

Αυτή η υποβάθμιση της Πληροφορικής στην β/βάθμια εκπαίδευση, όπως μπορεί να αντιληφθεί οποιοσδήποτε έχει μια ενημερωμένη εικόνα για το γενικότερο επίπεδο των Επιστημών σήμερα, υποβαθμίζει τη συνολική ποιότητα της επιστημονικής εκπαίδευσης στην Ελλάδα. Σήμερα, είτε πρόκειται για Οικονομικές, είτε για Θετικές, είτε για Επιστήμες Υγείας είτε για οποιοδήποτε άλλο είδος Επιστήμης, αυτό που έχει ολοένα μεγαλύτερη σημασία είναι η μοντελοποίηση και μοντελοποίηση χωρίς Προγραμματισμό δεν υπάρχει, όχι μόνο ως εφαρμοστικό εργαλείο που συνοδεύει την “διακριτοποίηση”, αλλά και ως πρωτεύον μαθηματικό εργαλείο σε κάποιες περιπτώσεις: ένα παράδειγμα εδώ είναι το μοντέλο ροής υγρών/αερίων FHP, το οποίο είναι πλήρως διακριτό. Αξίζει να σημειώσουμε ότι η έννοια του «διακριτού» σχετίζεται με τους ακέραιους αριθμούς, ενώ η έννοια του «συνεχούς» με τους πραγματικούς αριθμούς (οι οποίοι, εξάλλου, είναι γνωστοί και ως «το συνεχές»). Το μοντέλο FHP, για παράδειγμα, είναι διακριτό γιατί περιγράφεται και λειτουργεί με χρήση μόνο ακέραιων αριθμών, όπως άλλωστε και ο ίδιος ο Προγραμματισμός!

Επιπλέον, πολλά φαινόμενα στην οικονομία, στην κοινωνία, στο διαδίκτυο και αλλού, δεν περιγράφονται πρωτογενώς με συνεχή εργαλεία, αλλά με διακριτά. Για παράδειγμα, «η εξάπλωση μιας άποψης στα κοινωνικά δίκτυα». Ακόμα και για τα φυσικά φαινόμενα, όμως, υπάρχει η διαίσθηση σ’ ένα μέρος της επιστημονικής κοινότητας ότι είναι και αυτά κατά βάση διακριτά! Η δήλωση του πολυβραβευμένου Φυσικού John Archibald Wheeler είναι ενδεικτική:

«It from bit. Otherwise put, every it — every particle, every field of force, even the space-time continuum itself — derives its function, its meaning, its very existence entirely — even if in some contexts indirectly — from the apparatus-elicited answers to yes-or-no questions, binary choices, bits. It from bit symbolizes the idea that every item of the physical world has at bottom — a very deep bottom, in most instances — an immaterial source and explanation; that which we call reality arises in the last analysis from the posing of yes-no questions and the registering of equipment-evoked responses; in short, that all things physical are information-theoretic in origin and that this is a participatory universe»

Ελπίζω, το Νέο Λύκειο που έχει εξαγγείλει, και θα ανακοινώσει εντός των ημερών, ο κος Γαβρόγλου να αποκαταστήσει την Πληροφορική εκπαίδευση στην Ελλάδα, εισάγοντας το μάθημα της Πληροφορικής και στις Θετικές Επιστήμες όπου είναι η φυσική του θέση, αυξάνοντας υπέρ του δέοντος  και τις ώρες διδασκαλίας του μαθήματος. Καλό θα ήταν να εισαχθεί και στο ΓΕΛ η γλώσσα προγραμματισμού Python μαζί με τα αντίστοιχα Μαθηματικά, γιατί όχι και λίγη Θεωρία Υπολογισμού μαζί με Μαθηματική Λογική!

Και πριν το Νέο Λύκειο (από την επόμενη χρονιά ουσιαστικά),  ήδη από φέτος θα μπορούσε να δοθεί η επιλογή στους υποψήφιους των Πανελλαδικών να έχουν πρόσβαση σ’ όλες τις σχολές της ΟΠ Θετικών Σπουδών διαγωνιζόμενοι στα ακόλουθα τέσσερα μαθήματα:

Γλώσσα, ΑΕΠΠ, Μαθηματικά Προσανατολισμού, Φυσική

(Δηλαδή με Φυσική αντί για ΑΟΘ στην ΟΠ Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής να «ξεκλειδώνονται» όλες οι σχολές της ΟΠ Θετικών Σπουδών).

Γιώργος Μπουγιούκας

Γιατί δεν υπάρχει πρόσβαση στα τμήματα Μαθηματικών από το πεδίο Επιστημών Οικονομίας και Πληροφορικής;

Ο μαθηματικός Κουρτ Γκέντελ. Απέδειξε ότι οι πρωτόγονες αναδρομικές συναρτήσεις είναι αναπαραστάσιμες στην πρωτοβάθμια αριθμητική Peano.

Οι υποψήφιοι/ες του πεδίου Επιστημών Οικονομίας και Πληροφορικής εξετάζονται στα ίδια ακριβώς θέματα με τους υποψήφιους/ες του πεδίου Θετικών και Τεχνολογικών Επιστημών για το μάθημα των Μαθηματικών (με τον υψηλότερο συντελεστή 1.3), ενώ εξετάζονται και στο μάθημα της Ανάπτυξης Εφαρμογών σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον, το οποίο έχει ισχυρή δομική συνάφεια με επιπλέον τρία (!) μαθηματικά αντικείμενα:

  1. Αλγόριθμοι και γενικότερα υπολογιστικές διαδικασίες (αναπαριστάνονται στην πρωτοβάθμια αριθμητική Peano)
  2. Δίτιμη Άλγεβρα Boole («λογικές εφράσεις» της Γλώσσας της ΑΕΠΠ )
  3.  Προτασιακή Λογική (η συνάφεια με την  δίτιμη άλγεβρα Boole είναι προφανής)

Επομένως, οι υποψήφιοι/ες του πεδίου Επιστημών Οικονομίας και Πληροφορικής εξετάζονται πρακτικά σε συνάφεια με τέσσερα (!) μαθηματικά αντικείμενα, και όχι μόνο στην Ανάλυση, όπως συμβαίνει με τους υποψήφιους/ες του πεδίου Θετικών και Τεχνολογικών Επιστημών. Δεν συνιστά έκπληξη, λοιπόν, που όλα τα τμήματα Μαθηματικών έχουν δηλώσει ρητά ότι επιθυμούν οι υποψήφιοί τους να εξετάζονται στο μάθημα της Πληροφορικής (Η πρόταση για Χημεία η Πληροφορική στις Πανελλαδικές). Εξάλλου περιλαμβάνουν πολλά μαθήματα σχετικά με τον Προγραμματισμό στα προγράμματα σπουδών τους. Παρόλ’ αυτά, οι υποψήφιοι/ες του πεδίου Επιστημών Οικονομίας και Πληροφορικής δεν έχουν πρόσβαση στα τμήματα Μαθηματικών;

Γιώργος Μπουγιούκας

 

Σχετικά με το θέμα Α1 των πανελλαδικών της ΑΕΠΠ του 2017

Στο φετινό θέμα Α1 των πανελλαδικών της ΑΕΠΠ το πρώτο  υποερώτημα αφορούσε την ισχύ της ισοδυναμίας δύο λογικών εκφράσεων:

Η έκφραση ΟΧΙ(Κ=10 ΚΑΙ Χ>7) είναι ισοδύναμη με την έκφραση (Κ<>10 Ή Χ<=7)” (Σωστό ή Λάθος)

Η παραπάνω ισοδυναμία συνεπάγεται από τον έναν από τους δύο γνωστούς στην Πληροφορική “νόμους De Morgan”, για κάθε λογική έκφραση Α, για κάθε λογική έκφραση Β:

(ΟΧΙ (Α ΚΑΙ Β)) ↔ ((ΟΧΙ Α) Ή (ΟΧΙ Β))

(ΟΧΙ (Α Ή Β)) ↔ ((ΟΧΙ Α) ΚΑΙ (ΟΧΙ Β))

Θυμίζει λίγο την γνωστή “επιμεριστική” ιδιότητα, με τον τελεστή ΟΧΙ να εφαρμόζεται σε κάθε έναν από τους τελεστέους των τελεστών ΚΑΙ/Ή στο πρώτο μέλος της ισοδυναμίας, και με τον τελεστή ΚΑΙ να μετατρέπεται σε Ή, ενώ τον Ή να μετατρέπεται σε ΚΑΙ στο δεύτερο μέλος.

Αν και ο τελεστής της λογικής ισοδυναμίας “↔”  δεν ορίζεται ως λογικός τελεστής στην Γλώσσα της ΑΕΠΠ,  τον ρόλο αυτού του τελεστή στην τελευταία αναλαμβάνει ο γνωστός λογικός τελεστής της ισότητας “=”, όπως θα δούμε παρακάτω. Οπότε, οι νόμοι De Morgan στην Γλώσσα της ΑΕΠΠ γράφονται (και είναι Αληθείς), για κάθε λογική έκφραση Α, για κάθε λογική έκφραση Β:

(ΟΧΙ (Α ΚΑΙ Β)) = ((ΟΧΙ Α) Ή (ΟΧΙ Β))

(ΟΧΙ (Α Ή Β)) = ((ΟΧΙ Α) ΚΑΙ (ΟΧΙ Β))

Αντικαθιστώντας την λογική έκφραση Α με την λογική έκφραση Κ=10, την Β με την Χ>7 (αφού οι παραπάνω νόμοι ισχύουν για κάθε ζεύγος λογικών εκφράσεων Α, Β) και εφαρμόζοντας τον πρώτο νόμο De Morgan παραπάνω, παίρνουμε:

(ΟΧΙ(Κ=10 ΚΑΙ Χ>7)) = ((ΟΧΙ Κ=10) Ή (ΟΧΙ Χ>7)) →

((ΟΧΙ Κ=10) Ή (ΟΧΙ Χ>7)) = (Κ <> 10 Ή Χ <= 7)

Ωστόσο, οι νόμοι De Morgan δεν διδάσκονται στην δευτεροβάθμια εκπαίδευση, οπότε το πρόβλημα μπορεί να αντιμετωπιστεί με τη χρήση πίνακα παρόμοιου με αυτόν ο οποίος δίνεται στην σελ. 43 του σχολικού βιβλίου της ΑΕΠΠ, για κάθε διάταξη τιμών (“αποτίμηση”) των λογικών εκφράσεων (ή “προτάσεων”) Α, Β.

Πίνακας τιμών για τις λογικές πράξεις Ή, ΚΑΙ και ΟΧΙ, σελ. 43 σχολικού βιβλίου ΑΕΠΠ (η σκίαση με μπλε και κόκκινο χρώμα δική μου)

Ένας τέτοιος πίνακας λοιπόν μπορεί να κατασκευαστεί όχι μόνο για τις λογικές εκφράσεις “Α Ή Β”, “Α ΚΑΙ Β” και “ΌΧΙ Α”, αλλά…για κάθε λογική έκφραση!

Πριν κατασκευάσουμε όμως έναν τέτοιο πίνακα για τις δύο λογικές εκφράσεις του παραπάνω υποερωτήματος των πανελλαδικών του 2017, ας δούμε την έννοια της λογικής ισοδυναμίας. Η λογική ισοδυναμία (ή απλά «ισοδυναμία») ορίζεται ως εξής: δύο προτάσεις (ή λογικές εκφράσεις) είναι ισοδύναμες όταν είναι και οι δύο Αληθείς ή όταν είναι και οι δύο Ψευδείς. Με άλλα λόγια δύο προτάσεις είναι λογικά ισοδύναμες όταν είναι…λογικά ίσες! Επομένως, στην Γλώσσα της ΑΕΠΠ η λογική ισοδυναμία μεταξύ δύο λογικών εκφράσεων εκφράζεται με τον τελεστή της ισότητας “=”! Δίνεται παρακάτω ο πίνακας τιμών της λογικής ισοδυναμίας:

Πίνακας τιμών της λογικής ισοδυναμίας

Ας δούμε τώρα όμως τον πίνακα τιμών για τις λογικές εκφράσεις του θέματος Α1.

Πίνακας τιμών των λογικών εκφράσεων του πρώτου υποερωτήματος του θέματος Α1 των πανελλαδικών της ΑΕΠΠ του 2017

Παρατηρούμε ότι για κάθε αποτίμηση των λογικών εκφράσεων Κ=10” και “Χ>7”, οι τιμές των λογικών εκφράσεων “ΟΧΙ (Κ=10 ΚΑΙ Χ>7)” και “Κ<>10 Ή Χ <= 7” είναι ίσες, άρα οι λογικές αυτές εκφράσεις είναι ισοδύναμες.

Γιώργος Μπουγιούκας

Τεκμηριώνεται επιστημονικά η Β’ (και η Α’) ανάθεση του μαθήματος των μαθηματικών σε πληροφορικούς στην β/βάθμια εκπαίδευση;

Ως γνωστόν, με βάση το άρθρο 30 του Ν.2009/1992 (ΦΕΚ 18/14-2-1992, τ.Α ́) “Εθνικό Σύστημα Επαγγελματικής Εκπαίδευσης και Κατάρτισης και άλλες διατάξεις” μετατάχθηκαν στον νεοσύστατο τότε εκπαιδευτικό κλάδο Π19, λόγω έλλειψης απόφοιτων πληροφορικής, εκπαιδευτικοί χωρίς πτυχίο πληροφορικής, κυρίως μαθηματικοί. Θεωρώ ότι δικαιωματικά ένας μαθηματικός είναι η πρώτη επιλογή αναπλήρωσης ενός πληροφορικού όταν προκύψει ανάγκη, θα δείξω, μάλιστα, ότι αυτή η “συνάρτηση” είναι “αντιστρέψιμη”, δηλαδή ότι και ένας πληροφορικός είναι η πρώτη επιλογή αναπλήρωσης ενός μαθηματικού.

Η σχέση πληροφορικής-μαθηματικών είναι εσωτερική-δομική και όχι εξωτερική-εργαλειακή.

Η εργαλειακή χρήση των μαθηματικών, όπως άλλωστε και της πληροφορικής, λαμβάνει χώρα σε μια πληθώρα επιστημών και ειδικοτήτων. Για παράδειγμα, η επιστήμη της φυσικής χρησιμοποιεί τα μαθηματικά ως εργαλείο με σκοπό την μοντελοποίηση του αντικείμενου της μελέτης της, του φυσικού κόσμου, ο οποίος δεν είναι αυτός καθαυτός αυστηρά ορισμένο μαθηματικό αντικείμενο – τουλάχιστον κανείς μέχρι τώρα δεν έχει καταφέρει να αποδείξει κάτι τέτοιο.

Από την άλλη πλευρά, το θεμελιώδες αντικείμενο της πληροφορικής είναι οι αλγόριθμοι, ευρύτερα γνωστοί ως “προγράμματα”, οι οποίοι είναι ένα αυστηρά ορισμένο μαθηματικό αντικείμενο, αυτοί καθαυτοί. Οι αλγόριθμοι δεν “χρησιμοποιούν τα μαθηματικά”, αλλά χρησιμοποιούν τα…υπόλοιπα μαθηματικά, όπως και τα υπόλοιπα μαθηματικά χρησιμοποιούν τους αλγόριθμους, αν όχι θεμελιώνονται πάνω στους τελευταίους σε κάποιο βαθμό.

Το 1931 ο Γκέντελ δημοσίευσε τα περίφημα θεωρήματα μη-πληρότητας. Η απόδειξή του βασίστηκε πάνω στην επιμέρους απόδειξη ότι οι πρωτόγονες αναδρομικές συναρτήσεις (ένα υποσύνολο των προγραμμάτων) αναπαριστάνονται στην πρωτοβάθμια αριθμητική Peano, με άλλα λόγια είναι αυστηρά ορισμένα μαθηματικά αντικείμενα σε μια τόσο θεμελιώδη μαθηματική θεωρία όπως η αριθμητική. Αυτό αποδεικνύεται και για το σύνολο των προγραμμάτων (μ-Αναδρομικές συναρτήσεις). Για την αναπαράσταση αυτή, μάλιστα, δεν είναι αναγκαίο καν το αξιωματικό σχήμα της επαγωγής, αρκούν οι δύο γνωστές πράξεις, της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού!

-Οι αλγόριθμοι είναι θεμέλιο των μαθηματικών.

Συνεπάγεται από την προηγούμενη διαπίστωση. Εφόσον οι αλγόριθμοι είναι κομμάτι της πρωτοβάθμιας αριθμητικής Peano, η οποία για ευνόητους λόγους θεωρείται θεμέλιο των μαθηματικών, τότε και οι ίδιοι συνιστούν θεμελιώδες συστατικό των μαθηματικών.

-Τα θεμέλια συναντούν πολύ συχνά τα άλλα θεμέλια (προτασιακό και κατηγορηματικό λογισμό).

Τα τμήματα της τριτοβάθμιας εκπαίδευσης τα οποία χρησιμοποιούν εργαλειακά τα μαθηματικά, συνήθως περιλαμβάνουν στο πρόγραμμα σπουδών τους μια σειρά μαθημάτων των μαθηματικών κλάδων της ανάλυσης και (σπανιότερα) της γραμμικής άλγεβρας, αλλά όχι θεμέλια των μαθηματικών όπως ο προτασιακός και κατηγορηματικός λογισμός. Αυτά τα αντικείμενα αποτελούν στην πλειονότητα των περιπτώσεων αναπόσπαστο κομμάτι των προγραμμάτων σπουδών των διαφόρων τμημάτων πληροφορικής (τα οποία συνιστούν τους εκπαιδευτικούς κλάδους Π19 και Π20) και θέτουν τις βάσεις για μια βαθιά κατανόηση των μαθηματικών η οποία είναι πάνω από κάθε σύγκριση με την όποια εξωτερική-εργαλειακή τους χρήση.

Η μελέτη των αλγορίθμων απαιτεί ένα ακόμα ευρύτερο μαθηματικό υπόβαθρο, γεγονός το οποίο επιβεβαιώνουν τα προγράμματα σπουδών της πλειονότητας των τμημάτων πληροφορικής.

Πέρα από τον προτασιακό και κατηγορηματικό λογισμό, συνήθη μαθηματικά αντικείμενα ή μοντέρνες φαρμογές των μαθηματικών στα προγράμματα σπουδών πληροφορικής είναι:

  • Aνάλυση
  • Γραμμική άλγεβρα
  • Θεωρία πιθανοτήτων
  • Θεωρία συνόλων
  • Συνδυαστική
  • Θεωρία των γράφων
  • Θεωρία υπολογισιμότητας
  • Θεωρία αυτομάτων και τυπικών γλωσσών
  • Θεωρία πολυπλοκότητας
  • Θεωρία πληροφορίας
  • Κρυπτογραφία
  • Γραμμικός προγραμματισμός
  • Άλγεβρα Μπουλ
  • Θεωρία παιγνίων

-Οι αλγόριθμοι είναι παντού στα μαθηματικά.

Ξεκινώντας την μαθηματική εκπαίδευση ήδη από τις πρώτες τάξης του Δημοτικού και συνεχίζοντας σε υψηλότερες βαθμίδες της εκπαίδευσης, διδάσκονται:

  • Ο αλγόριθμος της προπαίδειας.
  • Ο αλγόριθμος της κάθετης πρόσθεσης και αφαίρεσης.
  • Ο αλγόριθμος του κάθετου πολλαπλασιασμού και της κάθετης διαίρεσης.
  • Αλγόριθμοι εύρεσης του ελάχιστου κοινού πολλαπλασίου (ΕΚΠ).
  • Αλγόριθμοι εύρεσης του μέγιστου κοινού διαιρέτη (ΜΚΔ.)
  • Αλγόριθμοι για την μετατροπή δύο κλασμάτων σε ομώνυμα.
  • Αλγόριθμοι πρόσθεσης κλασμάτων.
  • Ο αλγόριθμος «το κόσκινο του Ερατοσθένη».
  • Ο αλγόριθμος κατασκευής ισοσκελούς τριγώνου με χάρακα και διαβήτη.
  • Ο αλγόριθμος διχοτόμησης ευθύγραμμου τμήματος με χάρακα και διαβήτη.
  • Ο αλγόριθμος διχοτόμησης γωνίας με χάρακα και διαβήτη.
  • Ο αλγόριθμος υπολογισμού ρητής προσέγγισης τετραγωνικής ρίζας φυσικού αριθμού.
  • Ο αλγόριθμος επίλυσης (στο ℝ) μονομεταβλητής πρωτοβάθμιας εξίσωσης με ρητούς συντελεστές.
  • Ο αλγόριθμος επίλυσης (στο ℝ) μονομεταβλητής δευτεροβάθμιας εξίσωσης με ρητούς συντελεστές.
  • Αλγόριθμοι παραγώγισης για διάφορες κλάσεις συναρτήσεων.
  • Αλγόριθμοι ολοκλήρωσης για διάφορες κλάσεις συναρτήσεων.

Οι αλγόριθμοι οριοθετούν τα μαθηματικά.

Η οριοθέτηση μιας επιστήμης είναι απαραίτητη, χρήσιμη, και προσδίδει κύρος σ’ αυτήν. Συνεισφέρει στo να μην καταβάλλεται μάταιη προσπάθεια σε ανέφικτους στόχους. Αν το θεώρημα Lindemann–Weierstrass από το οποίο συνεπάγεται ότι δεν είναι δυνατός ο τετραγωνισμός του κύκλου αποδεικνυόταν νωρίτερα από το 1882, αυτό το πρόβλημα θα απασχολούσε την επιστήμη των μαθηματικών για λιγότερο χρόνο από όσο τελικά την απασχόλησε. Έτσι, τα θεωρήματα μη-πληρότητας του Γκέντελ, η απόδειξη των οποίων όπως είδαμε θεμελιώνεται πάνω στους αλγόριθμους, συνεισφέρουν, για παράδειγμα, στο να μην ασχολούνται οι μαθηματικοί με την απόδειξη της συνέπειας της συνολοθεωρίας ZFC εντός του ZFC, εκτός κι αν θέλουν να αποδείξουν ότι το ZFC είναι ασυνεπές.

Οι αλγόριθμοι όμως δεν οριοθετούν τα μαθηματικά μόνο μέσω των θεωρημάτων μη-πληρότητας του Γκέντελ, αλλά και πιο άμεσα, μέσω του θεωρήματος του τερματισμού του “πατέρα της πληροφορικής”, Άλαν Τούρινγκ. Το πρόβλημα του τερματισμού, το οποίο ο Τούρινγκ απέδειξε ότι είναι “μη-αποφασίσιμο, “ανάγεται” σε διάφορα γνωστά προβλήματα στα μαθηματικά, τα οποία, ως συνέπεια, αποδεικνύονται και αυτά “μη-αποφασίσιμα”. Για παράδειγμα, γνωρίζουμε ότι δεν υπάρχει αλγόριθμος ο οποίος επιλύει στο ℝ κάθε δευτεροβάθμια εξίσωση με πραγματικούς συντελεστές. Επίσης, ότι δεν υπάρχει αλγόριθμος για το πρόβλημα της ισότητας δύο πραγματικών αριθμών, καθώς και για πληθώρα άλλων προβλημάτων.

Η ύπαρξη αλγορίθμων είναι τόσο σημαντική για τα μαθηματικά, όσο και η ανυπαρξία τους!

-Όλα (σχεδόν) τα μαθηματικά μέσα σ’ έναν αλγόριθμο.

Η συνολοθεωρία ZFC αποτελεί δικαιολογημένα θεμέλιο των μαθηματικών, αφού μέχρι τώρα σχεδόν όλα (πλην ελάχιστων εξαιρέσεων) τα μαθηματικά θεωρήματα, αποδεικνύονται μέσα σ΄ αυτήν. Και επειδή πρόκειται για μια “πρωτοβάθμια” θεωρία, το πρόβλημα της “k-αποδειξιμότητας” (k-provability problem) γι’ αυτήν είναι αποφασίσιμο.

Με απλά λόγια αυτό μας λέει ότι δεδομένου ενός ισχυρισμού ο οποίος μπορεί να διατυπωθεί μέσα στην ZFC, υπάρχει αλγόριθμος ο οποίος απαντάει σωστά “ναι” ή “όχι” στο ακόλουθο ερώτημα:

υπάρχει απόδειξη στην ZFC για τον δεδομένο ισχυρισμό της οποίας το μέγεθος είναι το πολύ k σύμβολα; (μια απόδειξη είναι τυπικά μια συμβολοσειρά).

-Ένα από τα μεγαλύτερα ανοιχτά προβλήματα των μαθηματικών σήμερα (αν όχι το μεγαλύτερο) είναι ένα πρόβλημα πληροφορικής: το πρόβλημα P versus NP.

Το ινστιτούτο μαθηματικών Clay έχει ανακηρύξει επτά μαθηματικά βραβεία για την επίλυση αντίστοιχων επτά μαθηματικών προβλημάτων, γνωστών ως Millenium Problems (Προβλήματα της Χιλιετίας). Κάθε βραβείο συνοδεύεται από το χρηματικό ποσό του ενός εκατομμυρίου δολαρίων. Ένα από τα προβλήματα αυτά είναι το P versus NP, το οποίο μπορεί να διατυπωθεί στην ακόλουθη (σχετικά απλοποιημένη) μορφή:

Ο καλύτερος αλγόριθμος μέχρι τώρα για την επίλυση του προβλήματος της k-αποδειξιμότητας της θεωρίας ZFC (το οποίο διατυπώθηκε παραπάνω) είναι αρκετά αργός (“εκθετικός”) για να είναι χρήσιμος-αποδοτικός. Υπάρχει ένας αρκετά γρήγορος (“πολυωνυμικός”) αλγόριθμος, ώστε να είναι χρήσιμος-αποδοτικός;

Επίλογος

Τεκμηριώνεται, λοιπόν, επιστημονικά η Β’ (και η Α’) ανάθεση του μαθήματος των μαθηματικών σε πληροφορικούς στην δευτεροβάθμια εκπαίδευση; Τα συμπεράσματα δικά σας.