Υπολογίζοντας το εμβαδό κάτω από την καμπύλη με την Πληροφορική των Πανελλαδικών

Στο μάθημα των Μαθηματικών Προσανατολισμού… Γ’ Λυκείου ο υπολογισμός του εμβαδού ανάμεσα σε μια καμπύλη και τον άξονα των x από μία τιμή α μέχρι μία τιμή β γίνεται κλασικά μέσω του υπολογισμού της έκφρασης του αόριστου ολοκληρώματος: αν αυτή η έκφραση είναι G(x), τότε το ζητούμενο εμβαδό είναι G(β)-G(α). Όμως, ο υπολογισμός της έκφρασης του αόριστου ολοκληρώματος δεν είναι πάντα εύκολη υπόθεση! Δοκιμάστε για παράδειγμα την ολοκλήρωση της παρακάτω συνάρτησης:

Ας δούμε ένα απλό πρόγραμμα στην Γλώσσα του μαθήματος της Πληροφορικής της Γ’ Λυκείου το οποίο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τoν υπολογισμό του εμβαδού όχι μόνο στην παραπάνω περίπτωση, αλλά και για κάθε συνάρτηση της οποίας δίνεται ο τύπος.

Το παραπάνω πρόγραμμα βασίζεται άμεσα στον ορισμό του ορισμένου ολοκληρώματος, ως το όριο του αθροίσματος των εμβαδών των ορθογωνίων στα οποία μπορεί να χωριστεί η επιφάνεια κάτω από την καμπύλη, καθώς το πλήθος αυτών των ορθογωνίων τείνει στο άπειρο (ισοδύναμα καθώς η ποσότητα δχ τείνει στο 0) – βλ. ενότητα 3.4, “Ορισμένο ολοκλήρωμα”, Μαθηματικά Γ’ Τάξης ΓΕΛ Ομάδας Προσανατολισμού... Από αυτόν τον ορισμό συνεπάγεται ότι μπορούμε να πετύχουμε όσο καλή προσέγγιση του εμβαδού θέλουμε επιλέγοντας μια ανάλογα μεγάλη τιμή του πλήθους των ορθογωνίων.

Το τελευταίο πλήθος εκφράζεται από την μεταβλητή ν στο παραπάνω πρόγραμμα, ενώ το εμβαδό του ι-οστού ορθογωνίου από την έκφραση f(α+ι*δχ)*δχ, όπου δχ είναι η μία διάσταση του ορθογωνίου και f(α+ι*δχ) η άλλη, όπου f είναι μία συνάρτηση με δεδομένο αναλυτικό τύπο, της οποίας κάποιο ορισμένο ολοκλήρωμα ζητείται– τέτοιες συναρτήσεις μπορούν εύκολα να κωδικοποιηθούν στην ΓλώσσαΗ μεταβλητή Σ κρατάει το άθροισμα των εμβαδών των ορθογωνίων.

Η μεταβλητή δχ είναι αντιστρόφως ανάλογη της μεταβλητής ν: όσο μεγαλύτερη η μία, τόσο μικρότερη η άλλη. Για την παραπάνω εμφανιζόμενη τιμή δχ=0.001 το πρόγραμμα δίνει ικανοποιητική επίλυση σε διάφορες περιπτώσεις, αλλά ανάλογα με το εύρος του διαστήματος [α, β] και την απαιτούμενη τιμή δχ, ο αριθμός ν μπορεί να υπερβαίνει το φράγμα 105. Η συγκεκριμένη τιμή επιλέχτηκε λόγω του ότι η υπολογιστική της αντιμετώπιση είναι εφικτή στους περισσότερους Η/Υ που κυκλοφορούν εκεί έξω. Φυσικά, μπορείτε να θέσετε μεγαλύτερη τιμή, ανάλογα και με τις δυνατότητες του υπολογιστή σας.

Ας δούμε το πρόγραμμά μας στην πράξη. Θα υπολογίσουμε το παρακάτω ολοκλήρωμα (το οποίο δεν μπορεί να υπολογιστεί με την μεθοδολογία που περιγράφεται στα Μαθηματικά Προσανατολισμού… της Γ’ ΓΕΛ ):

Κωδικοποιούμε την συνάρτηση f (και φυσικά θέτουμε α=0 και β=10):

Η εκτέλεση του προγράμματος στον Διερμηνευτή της Γλώσσας δίνει 0.88672693.  Δοκιμάζουμε μια μικρότερη τιμή για το δχ, 0.0001 και παίρνουμε 0.88627693. Παρατηρείστε ότι ο αριθμός αριστερά από την υποδιαστολή και τα τρία πρώτα δεκαδικά ψηφία δεν άλλαξαν, γεγονός που συνιστά μια ένδειξη (όχι όμως  και απόδειξη) ότι ο αριθμός αριστερά από την υποδιαστολή και τα τρία πρώτα δεκαδικά του αποτελέσματος είναι αυτά ακριβώς! Ας τσεκάρουμε το αποτέλεσμά μας με ένα καταξιωμένο λογισμικό όπως το Wolfram|Alpha, το οποίο δίνει 0.886227

(https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+e%5E%28-x%5E2%29+from+0+to+10)

Ας δούμε ένα άλλο ολοκλήρωμα, το οποίο επίσης δεν φαίνεται και πολύ εύκολο:

Κωδικοποιούμε την συνάρτηση στην Γλώσσα:

Η εκτέλεση του προγράμματος για δχ=0.001 δίνει 3052491665.01952. Δοκιμάζουμε για μικρότερο δχ, 0.0001, και παίρνουμε 3056988940.38689. Παρατηρούμε ότι τα τρία πρώτα ψηφία αριστερά από την υποδιαστολή δεν άλλαξαν. Το Wolfram|Alpha δίνει 3057488912.86528.

(https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+%CF%87%5E%CF%87+from+0+to+10)

Η ποσοστιαία απόκλιση της δεύτερης τιμής που έδωσε το πρόγραμμά μας από την τιμή του Wolfram|Alpha είναι 0.016%.

Μια άλλη (κάπως πιο εύκολη για τα Μαθηματικά) περίπτωση:

Η επίλυση του αόριστου ολοκληρώματος που δίνει το Wolfram|Alpha μοιάζει κάπως έτσι:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+1%2F%28%28x-3%29%5E4%2B1%2F2%29

Διαμορφώνουμε την f στο πρόγραμμά μας:

Οπότε, με την εκτέλεση για δχ=0.001 παίρνουμε 3.72272538. Δοκιμάζουμε για δχ=0.0001 και παίρνουμε 3.72272005. Παρατηρούμε ότι η τιμή αριστερά από την υποδιαστολή και τα πέντε πρώτα δεκαδικά ψηφία δεν άλλαξαν. To Wolfram|Alpha δίνει 3.72272

(https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+1%2F%28%28x-3%29%5E4%2B1%2F2%29+from+0+to+10 )

Ας δούμε, τέλος, και μια εύκολη (για τα Μαθηματικά) περίπτωση:

Κωδικοποιούμε την συνάρτηση:

Για δχ=0.001 παίρνουμε 333.283335. Για δχ=0.0001 παίρνουμε 333.32833335.  Από την γνωστή παράγουσα της συνάρτησης παίρνουμε 10^3/3 =333.3333…

Αξίζει να σημειώσουμε ότι ο κλάδος της Πληροφορικής που μελετάει τα προβλήματα της Ανάλυσης από καθαρά υπολογιστική σκοπιά – η οποία έχει και ιδιαίτερη σημασία για την επιστημονική μοντελοποίηση και έρευνα – ονομάζεται Αριθμητική Ανάλυση.

*Οι εικόνες του κώδικα του προγράμματος είναι screenshots από τον Διερμηνευτή της Γλώσσας

Γιώργος Μπουγιούκας

Κωδικοποίηση γράφων στην Γλώσσα της Πληροφορικής των Πανελλαδικών

Η Γλώσσα της Πληροφορικής των Πανελλαδικών δεν περιλαμβάνει μια ειδική δομή δεδομένων για τους γράφους. Ωστόσο, ένας γράφος μπορεί να κωδικοποιηθεί με χρήση ενός δισδιάστατου τετραγωνικού πίνακα – γνωστού και ως πίνακα γειτνίασης. Αυτός είναι ένας συνήθης τρόπος κωδικοποίησης, γενικότερα, σε οποιαδήποτε γλώσσα προγραμματισμού. Αξίζει να σημειωθεί ότι έχει υπάρξει θέμα πανελλαδικών εξετάσεων (βλ. παρακάτω) που χρησιμοποιεί την κωδικοποίηση ενός γράφου, όταν ακόμα δεν υπήρχε εκτενές ειδικό κεφάλαιο σχετικά με αυτήν την δομή δεδομένων στην ύλη της πληροφορικής.

Ας δούμε ένα παράδειγμα μη-κατευθυνόμενου γράφου, αρχικά. Η φιλία στο μέσο κοινωνικής δικτύωσης facebook μπορεί να αναπαρασταθεί με έναν μη-κατευθυνόμενο γράφο – αφού η φιλία στο fb είναι αμφίδρομη. Ας θωρήσουμε πέντε χρήστες του fb, την Μαρία, τον Θανάση, την Σοφία, την Τζένη και τον Αποστόλη. Οι χρήστες αυτοί θα είναι οι κορυφές του γράφου. Η ύπαρξη ακμής μεταξύ δύο κορυφών σηματοδοτεί την ύπαρξη φιλίας μεταξύ των αντίστοιχων χρηστών. Ο γράφος μας έχει την μορφή:

Προκειμένου να κωδικοποιήσουμε τον παραπάνω γράφο στην Γλώσσα με πίνακα γειτνίασης χρειαζόμαστε έναν δισδιάστατο τετραγωνικό πίνακα 5x5 ακέραιου τύπου. Οι διαστάσεις του πίνακα είναι και οι δύο ίσες με 5, όσο και το πλήθος των κορυφών του γράφου. Μετά κάνουμε μια αντιστοιχία ονομάτων και αριθμών από το 1 ως το 5, για παράδειγμα, Μαρία (1), Σοφία (2), Θανάσης (3), Αποστόλης (4), Τζένη (5).

Όπως, ίσως, ήδη παρατηρήσατε, μια τιμή 1 σε κάποια θέση του πίνακα σημαίνει ότι τα ονόματα που αντιστοιχούν στην αντίστοιχη γραμμή και στήλη του πίνακα είναι φίλοι, ενώ μια τιμή 0 σημαίνει ότι δεν είναι φίλοι. Αυτός είναι ένας συνήθης τρόπος κωδικοποίησης, χωρίς όμως να αποκλείεται οποιοσδήποτε άλλος συμβολισμός. Για παράδειγμα, η ύπαρξη φιλίας θα μπορούσε να συμβολιστεί με το 15 και η μη-ύπαρξη φιλίας με το 25 (ok, αυτό δεν συνηθίζεται!). Ή ακόμα, ο τύπος του πίνακα θα μπορούσε να ήταν λογικός με την τιμή Αληθής να σηματοδοτεί την ύπαρξη φιλίας και την τιμή Ψευδής την μη-ύπαρξη. Ή ο τύπος του πίνακα θα μπορούσε να ήταν και χαρακτήρας, π.χ. με την τιμή ‘φίλοι’ να σηματοδοτείται η φιλία και με την τιμή ‘όχι φίλοι’ η μη-ύπαρξη φιλίας. Θα μπορούσε, ακόμα, να χρησιμοποιηθεί ο “μισός” πίνακας, είτε από την κύρια διαγώνιο και πάνω, είτε από την κύρια διαγώνιο και κάτω, μιας και όταν ο γράφος είναι μη-κατευθυνόμενος οι τιμές στις θέσεις [ι, κ] και [κ,ι] είναι ίσες (για κάθε ι, για κάθε κ). Ένας τέτοιος πίνακας, μάλιστα, λέγεται συμμετρικός.

Ας δούμε τώρα την κωδικοποίηση ενός κατευθυνόμενου γράφου. Εδώ, αυτό που αλλάζει είναι ότι οι τιμές στις θέσεις [ι,κ] και [κ,ι] μπορεί να διαφέρουν και εκφράζουν συνήθως η μεν πρώτη κατεύθυνση από το όνομα που αντιστοιχεί στον αριθμό ι προς το όνομα που αντιστοιχεί στον αριθμό κ, η δε δεύτερη το αντίστροφο.

Θα εξετάσουμε το παράδειγμα του κεντρικού δόγματος της μοριακής βιολογίας. Πρόκειται για το θεμελιώδες μοντέλο της λειτουργίας του κυττάρου στην σύγχρονη βιολογία, το οποίο αναπαριστά την ροή της πληροφορίας μέσα στο κύτταρο. Το σύνηθες μονοπάτι του μοντέλου, το οποίο είναι και το πιο γνωστό, περιλαμβάνει την «μεταγραφή» του DNA σε (m)RNA, το οποίο τελικά αποτελεί το «πρόγραμμα» (αν θέλετε βγάλτε τα εισαγωγικά) με βάση το οποίο λαμβάνει χώρα η παραγωγή πρωτεϊνών μέσα στο κύτταρο! Αξίζει να σημειωθεί ότι το βασικό μοντέλο του DNA (primary structure) είναι ένα δεδομένο τύπου χαρακτήρων συμβολοσειρά (string) όπως είναι ευρύτερα γνωστός αυτός ο τύπος στην επιστήμη της πληροφορικής), το οποίο κτίζεται με ένα αλφάβητο από τέσσερα σύμβολα, A (για την νουκλεοβάση Adenine), G (για την νουκλεοβάση Guanine), C (για την νουκλεοβάση Cytosine) και T (για την νουκλεοβάση Thymine). Όχι τυχαία, η σύζευξη των επιστημών της βιολογίας και της πληροφορικής έχει δώσει ώθηση στην ανάπτυξη του κλάδου της βιοπληροφορικής!

Θεωρούμε την αντιστοιχία DNA (1), RNA (2) και ΠΡΩΤΕΪΝΗ (3) και έναν πίνακα 3×3:

Κάποιες παρατηρήσεις:

Ο κόμβος ΠΡΩΤΕΪΝΗ δεν αποτελεί αφετηρία για καμία ακμή, γεγονός που σηματοδοτείται από την ύπαρξη μόνο της τιμής 0 στην αντίστοιχη γραμμή.

Στον κόμβο DNA καταλήγουν 2 ακμές, γεγονός που σηματοδοτείται από την ύπαρξη δύο τιμών ίσων με 1 στην αντίστοιχη στήλη.

Υπάρχουν τιμές ίσες με 1 στην κύρια διαγώνιο, γεγονός που σηματοδοτεί ότι κάποιοι κόμβοι συνδέονται με τον εαυτό τους.

Ας δούμε και μια περίπτωση γράφου με “βάρηστις ακμές. Πολλές φορές οι ακμές ενός γράφου συσχετίζονται με κάποιες τιμές δεδομένων. Για παράδειγμα, στις επαναληπτικές πανελλαδικές εξετάσεις του 2018, στο θέμα Δ, ο πίνακας ΑΠ[15,15] κωδικοποιεί έναν γράφο με κορυφές 15 νησιά και βάρη τις αποστάσεις μεταξύ τους. Για χάρη απλοποίησης, στο παρακάτω σχήμα απεικονίζεται ένας γράφος με 5 νησιά (Ν1, Ν2, Ν3, Ν4, Ν5). Παρατηρείστε τις τιμές (βάρη) στις ακμές (με κόκκινο χρώμα), οι οποίες στην δεδομένη περίπτωση είναι οι αποστάσεις μεταξύ δύο νησιών.

Σ’ αυτήν την περίπτωση στον τετραγωνικό πίνακα ΑΠ[15,15] οι τιμές εκφράζουν τα βάρη. Για το συγκεκριμένο θέμα των Πανελλαδικών δεν υπήρχαν δύο νησιά που δεν σχετίζονταν με ακμή. Αν υπήρχαν, θα μπορούσε να καταχωρηθεί μια αρνητική τιμή (π.χ. -1) για αυτές τις περιπτώσεις στο πίνακα. Αξίζει να σημειωθεί, ακόμη, ότι στο συγκεκριμένο θέμα ζητήθηκε να χρησιμοποιηθεί το τμήμα του πίνακα πάνω από την κύρια διαγώνιο (αφού ο γράφος που κωδικοποιείται στην ουσία είναι μη-κατευθυνόμενος). Ο πίνακας γειτνίασης για το  παραπάνω παράδειγμα με τα 5 νησιά, με βάση την κωδικοποίηση του θέματος των επαναληπτικών Πανελλαδικών του 2018 (με χρήση μόνο των στοιχείων του πίνακα που βρίσκονται πάνω από την κύρια διαγώνιο) είναι:

*Η οπτική απεικόνιση των γράφων έγινε με την βοήθεια του πακέτου Graphviz και της Python.

Γιώργος Μπουγιούκας

Κορωνοϊός: κατανοώντας την επικινδυνότητα με εργαλείο την πληροφορική του Λυκείου

Μια βασική παράμετρος για την επικινδυνότητα ενός ιού είναι ο βασικός αναπαραγωγικός αριθμός, γνωστός και ως R0. Πρόκειται για το μέσο πλήθος των ατόμων στα οποία μεταδίδει τον ιό ένα προσβεβλημένο άτομο μέσα σε ένα πληθυσμό ο οποίος είναι δεκτικός στην μετάδοση (χωρίς ανοσία, χωρίς εμβολιασμό, χωρίς μέτρα αποστασιοποίησης κ.λ.π).

Η πληροφορική είναι η γλώσσα της επιστημονικής μοντελοποίησης,  σήμερα. Στην πληροφορική της Γ’ Λυκείου – και μάλιστα στην εξεταστέα ύλη των προσεχών πανελλαδικών εξετάσεων του 2021 – μελετάται η θεμελιώδης για την πληροφορική και την επιστημονική μοντελοποίηση δομή δεδομένων η οποία ονομάζεται γράφος. Ένας γράφος, λοιπόν, είναι μια συλλογή από στοιχεία που ονομάζονται κορυφές ή κόμβοι και μια συλλογή από ζευγάρια (ακμές από δω και στο εξής) αυτών των στοιχείων. Η ύπαρξη κάποιας ακμής στην τελευταία συλλογή σημαίνει ότι τα δύο στοιχεία (κορυφές) τα οποία την αποτελούν σχετίζονται ή συνδέονται με κάποιον τρόπο, ενώ η μη-ύπαρξη κάποιας ακμής σημαίνει ότι οι δύο κορυφές οι οποίες την αποτελούν δεν σχετίζονται μεταξύ τους. Η γραφική αναπαράσταση ενός γράφου μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας κάποιο σύμβολο για τις κορυφές (π.χ ένα κυκλάκι), ενώ οι ακμές παριστάνονται με γραμμές που συνδέουν τα σύμβολα των κορυφών. Σε πολλές περιπτώσεις η συσχέτιση δύο κορυφών με μία ακμή δεν είναι αμφίδρομη, αλλά κατευθύνεται από την μία από τις δύο κορυφές προς την άλλη. Σε μια τέτοια περίπτωση χρησιμοποιούμε ένα βελάκι στο ένα άκρο της ακμής για να δείξουμε την κατεύθυνση και λέμε ότι η ακμή είναι κατευθυνόμενη. Ένας γράφος που έχει όλες τις ακμές του κατευθυνόμενες λέγεται και ο ίδιος κατευθυνόμενος, ενώ όταν έχει όλες τις ακμές του χωρίς κατεύθυνση ονομάζεται μη-κατευθυνόμενος. Στην τελευταία περίπτωση δεν σημειώνεται κανένα βελάκι στα άκρα των ακμών.

Ας δούμε πως μοντελοποιείται ο βασικός αναπαραγωγικός αριθμός με την βοήθεια  των κατευθυνόμενων γράφων. Οι κορυφές είναι άτομα του πληθυσμού, ενώ η ύπαρξη μιας κατευθυνόμενης ακμής σημαίνει ότι ο ιός μεταδίδεται από το ένα άτομο στο άλλο στην κατεύθυνση που δείχνει το βελάκι. Η κατασκευή του γράφου θα ξεκινήσει από τον αρχικό ασθενή, γνωστό και ως ασθενή 0 (μηδέν). Ο εκτιμώμενος βασικός αναπαραγωγικός αριθμός του κορωνοϊού από τις μέχρι τώρα μελέτες είναι περίπου 3, δηλαδή κάθε ασθενής μεταδίδει την νόσο (κατά μέσο όρο) σε 3 άλλους. Για χάρη απλοποίησης, θα θεωρήσουμε μια μικρότερη τιμή, το 2, το οποίο ήδη ενέχει πολύ μεγάλη επικινδυνότητα.

Στην αρχή ο ασθενής 0 μεταδίδει τον ιό σε άλλα δύο άτομα. Σημειώστε την αύξηση του πλήθους των προσβεβλημένων ατόμων μετά την ολοκλήρωση της πρώτης “φάσης” της μετάδοσης. Είναι το πλήθος των ατόμων στην τελευταία σειρά, δηλαδή 2.

Πρώτη φάση, αύξηση 2.

Ας δούμε την εικόνα για λίγες από τις επόμενες φάσεις:

Δεύτερη φάση, αύξηση 4.

Τρίτη φάση, αύξηση 8.

Τέταρτη φάση, αύξηση 16.

Πέμπτη φάση, αύξηση 32.

Έκτη φάση, αύξηση 64.

Έβδομη φάση, αύξηση 128.

Παρατηρείστε, ήδη στην έβδομη φάση, πόσο πολύ πρέπει να σμικρυνθούν οι κόμβοι για να χωρέσουν στις διαστάσεις ενός blog! Αυτό είναι μια σημαντική συνιστώσα της επικινδυνότητας του κορωνοϊού. Η αύξηση των κρουσμάτων πολύ γρήγορα αυξάνεται η ίδια ραγδαία! Στην αρχή ίσως δεν είναι τόσο αισθητή (2, 4, 8, 16), αλλά λίγο αργότερα αρχίζει και ξεφεύγει η κατάσταση (…, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, 16384, … ).

Με την τήρηση όμως μέτρων προφύλαξης, διατηρώντας τις αποστάσεις, φορώντας μάσκα όπου χρειάζεται, τηρώντας την υγιεινή των χεριών και κάνοντας όλα αυτά που συμβουλεύουν οι επιστήμονες, το μέσο πλήθος των ατόμων στα οποία μεταδίδει τον ιό ένα προσβεβλημένο άτομο μπορεί να πλησιάσει το 1 ή και να το υπερβεί προς χαμηλότερες τιμές, γεγονός το οποίο σηματοδοτεί ότι η κατάσταση είναι ελεγχόμενη.

*Οι γράφοι κατασκευάστηκαν με την βοήθεια του πακέτου Graphviz και της Python.

Γιώργος Μπουγιούκας

 

Επαναληπτική Άσκηση ΑΕΠΠ 2019-α

Photo by Franck V. on Unsplash

Θεωρείστε ως δεδομένη (δεν χρειάζεται να την κατασκευάσετε) την συνάρτηση υποάθροισμα(A, ν) : Λογική, όπου Α μονοδιάστατος πίνακας ακεραίων με 1000 στοιχεία και ν ακέραια μεταβλητή. Η συνάρτηση υποάθροισμα επιστρέφει Αληθής αν από την θέση 1 ως και την θέση ν του Α υπάρχουν κάποια στοιχεία (ένα ή περισσότερα) τα οποία έχουν άθροισμα μηδέν, σε διαφορετική περίπτωση επιστρέφει Ψευδής. Για παράδειγμα, αν ο Α περιέχει τις τιμές 5, -2, -3 από την θέση 1 μέχρι και την θέση ν, τότε η υποάθροισμα θα επιστρέψει Αληθής, αφού 5-2-3=0, ενώ αν ο Α περιέχει μόνο θετικές τιμές από την θέση 1 μέχρι και την θέση ν, θα επιστρέψει, προφανώς, Ψευδής.

Κατασκευάστε ένα πρόγραμμα το οποίο να διαβάζει τις τιμές χιλίων ακεραίων, να τις καταχωρίζει στον πίνακα Α και – με την βοήθεια της συνάρτησης υποάθροισμα – αν υπάρχουν κάποιες τιμές στο πίνακα Α που έχουν άθροισμα μηδέν, να εμφανίζει έναν (οποιονδήποτε) συγκεκριμένο συνδυασμό στοιχείων που έχουν άθροισμα μηδέν, αλλιώς να εμφανίζει το μήνυμα “δεν υπάρχει συνδυασμός στοιχείων με άθροισμα 0”. Για παράδειγμα, στο πρώτο από τα παραπάνω δύο παραδείγματα αρκεί να εμφανίσει τις τιμές 5,-2 και -3, ενώ στο δεύτερο θα πρέπει να εμφανίσει το μήνυμα “δεν υπάρχει συνδυασμός στοιχείων με άθροισμα 0”.

Εκτός ΟΠ Θετικών Σπουδών η ΑΕΠΠ; Γιατί;

42474837_591290871287566_5460539674021855232_n

πηγή: Διάχυτος Υπολογισμός

Τα Μαθηματικά του Κωσταντίνου Δασκαλάκη

Με την ευκαιρία της πρόσφατης βράβευσης του κου Κωσταντίνου Δασκαλάκη, ας πούμε λίγα λόγια για τα Μαθηματικά για τα οποία έγινε αυτή η βράβευση:

Daskalakis was honored by the International Mathematical Union (IMU) for “transforming our understanding of the computational complexity of fundamental problems in markets, auctions, equilibria, and other economic structures.”
ΜΙΤ News: Constantinos Daskalakis wins prestigious Nevanlinna Prize

Πρόκειται, λοιπόν, για Μαθηματικά που βασίζονται κυρίως στο μαθηματικό αντικείμενο ονομάζεται Θεωρία Υπολογισμού (Theory of Computation) και κυρίως στον κλάδο του που ονομάζεται Θεωρία Πολυπλοκότητας (Computational Complexity Theory).

Αυτά τα μαθηματικά αντικείμενα διδάσκονται σχεδόν αποκλειστικά όσον αφορά το υποχρεωτικό κομμάτι των προγραμμάτων σπουδών, στα τμήματα Πληροφορικής της τριτοβάθμιας εκπαίδευσης – δεν θα βρει κανείς αυτά τα αντικείμενα στην λίστα των υποχρεωτικών μαθημάτων του Μαθηματικού του ΕΚΠΑ για παράδειγμα, τουλάχιστον έτσι όπως αναφέρει ο οδηγός σπουδών 2017-2018 ο οποίος ανακτήθηκε στις 6/8/2018. Εξάλλου, όπως ίσως εύκολα μπορεί να καταλάβει κανείς από τα ονόματα αυτών των μαθηματικών αντικειμένων, για να έχεις μια οποιαδήποτε επαφή μ΄ αυτά πρέπει να γνωρίζεις πολύ καλά Προγραμματισμό Υπολογιστών, αφού αφορούν την μελέτη ιδιοτήτων των Προγραμμάτων.

Ο Προγραμματισμός Υπολογιστών είναι θεμέλιο των Επιστημών σήμερα, παρόλα αυτά στην Ελλάδα το μάθημα αυτό είναι ένα πανελλαδικό μάθημα της γενικής εκπαίδευσης που διδάσκεται μόνο στην Β και Γ’ Λυκείου (ΑΕΠΠ) και μάλιστα λιγότερο από κάθε άλλο πανελλαδικό μάθημα (μόνο δύο ώρες στην Γ’ και μία ώρα στην Β’) – με μια μικρή εισαγωγή από το μονόωρο (!) μάθημα Πληροφορικής της Β’ Λυκείου. Ακόμα και με αυτές τις δύο ώρες ΑΕΠΠ, όμως, ένας μαθητής που έχει επιλέξει την κατεύθυνση Οικονομίας και Πληροφορικής μπορεί να έχει μια εικόνα για τα Μαθηματικά για τα οποία βραβεύτηκε ο Κωσταντίνος Δασκαλάκης. Το κεφάλαιο 5 μάλιστα του σχολικού βιβλίου περιλαμβάνει παράγραφο με θέμα «Πολυπλοκότητα Αλγορίθμων». Το ίδιο τυχεροί είναι και οι μαθητές του ΕΠΑΛ που εξετάζονται στο μάθημα Προγραμματισμός Υπολογιστών (με Python). Δυστυχώς αυτό δεν συμβαίνει με τους υποψήφιους της Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών από την οποία έχει αποκλειστεί το μάθημα της Πληροφορικής (πρακτικά και ουσιαστικά, αφού δεν εξετάζεται στις Πανελλαδικές), λες και η Πληροφορική δεν είναι πρώτα από όλα Θετική Επιστήμη!

Αυτή η υποβάθμιση της Πληροφορικής στην β/βάθμια εκπαίδευση, όπως μπορεί να αντιληφθεί οποιοσδήποτε έχει μια ενημερωμένη εικόνα για το γενικότερο επίπεδο των Επιστημών σήμερα, υποβαθμίζει τη συνολική ποιότητα της επιστημονικής εκπαίδευσης στην Ελλάδα. Σήμερα, είτε πρόκειται για Οικονομικές, είτε για Θετικές, είτε για Επιστήμες Υγείας είτε για οποιοδήποτε άλλο είδος Επιστήμης, αυτό που έχει ολοένα μεγαλύτερη σημασία είναι η μοντελοποίηση και μοντελοποίηση χωρίς Προγραμματισμό δεν υπάρχει, όχι μόνο ως εφαρμοστικό εργαλείο που συνοδεύει την “διακριτοποίηση”, αλλά και ως πρωτεύον μαθηματικό εργαλείο σε κάποιες περιπτώσεις: ένα παράδειγμα εδώ είναι το μοντέλο ροής υγρών/αερίων FHP, το οποίο είναι πλήρως διακριτό. Αξίζει να σημειώσουμε ότι η έννοια του «διακριτού» σχετίζεται με τους ακέραιους αριθμούς, ενώ η έννοια του «συνεχούς» με τους πραγματικούς αριθμούς (οι οποίοι, εξάλλου, είναι γνωστοί και ως «το συνεχές»). Το μοντέλο FHP, για παράδειγμα, είναι διακριτό γιατί περιγράφεται και λειτουργεί με χρήση μόνο ακέραιων αριθμών, όπως άλλωστε και ο ίδιος ο Προγραμματισμός!

Επιπλέον, πολλά φαινόμενα στην οικονομία, στην κοινωνία, στο διαδίκτυο και αλλού, δεν περιγράφονται πρωτογενώς με συνεχή εργαλεία, αλλά με διακριτά. Για παράδειγμα, «η εξάπλωση μιας άποψης στα κοινωνικά δίκτυα». Ακόμα και για τα φυσικά φαινόμενα, όμως, υπάρχει η διαίσθηση σ’ ένα μέρος της επιστημονικής κοινότητας ότι είναι και αυτά κατά βάση διακριτά! Η δήλωση του πολυβραβευμένου Φυσικού John Archibald Wheeler είναι ενδεικτική:

«It from bit. Otherwise put, every it — every particle, every field of force, even the space-time continuum itself — derives its function, its meaning, its very existence entirely — even if in some contexts indirectly — from the apparatus-elicited answers to yes-or-no questions, binary choices, bits. It from bit symbolizes the idea that every item of the physical world has at bottom — a very deep bottom, in most instances — an immaterial source and explanation; that which we call reality arises in the last analysis from the posing of yes-no questions and the registering of equipment-evoked responses; in short, that all things physical are information-theoretic in origin and that this is a participatory universe»

Ελπίζω, το Νέο Λύκειο που έχει εξαγγείλει, και θα ανακοινώσει εντός των ημερών, ο κος Γαβρόγλου να αποκαταστήσει την Πληροφορική εκπαίδευση στην Ελλάδα, εισάγοντας το μάθημα της Πληροφορικής και στις Θετικές Επιστήμες όπου είναι η φυσική του θέση, αυξάνοντας υπέρ του δέοντος  και τις ώρες διδασκαλίας του μαθήματος. Καλό θα ήταν να εισαχθεί και στο ΓΕΛ η γλώσσα προγραμματισμού Python μαζί με τα αντίστοιχα Μαθηματικά, γιατί όχι και λίγη Θεωρία Υπολογισμού μαζί με Μαθηματική Λογική!

Και πριν το Νέο Λύκειο (από την επόμενη χρονιά ουσιαστικά),  ήδη από φέτος θα μπορούσε να δοθεί η επιλογή στους υποψήφιους των Πανελλαδικών να έχουν πρόσβαση σ’ όλες τις σχολές της ΟΠ Θετικών Σπουδών διαγωνιζόμενοι στα ακόλουθα τέσσερα μαθήματα:

Γλώσσα, ΑΕΠΠ, Μαθηματικά Προσανατολισμού, Φυσική

(Δηλαδή με Φυσική αντί για ΑΟΘ στην ΟΠ Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής να «ξεκλειδώνονται» όλες οι σχολές της ΟΠ Θετικών Σπουδών).

Γιώργος Μπουγιούκας

Γενίκευση συνέπειας του θεωρήματος Bolzano

Αν δύο συναρτήσεις f, g είναι συνεχείς σε κάποιο διάστημα Δ και f(x)g(x) για κάθε x∈Δ, τότε ή f(x)>g(x) για κάθε x∈Δ ή f(x)<g(x) για κάθε x∈Δ, δηλαδή θα λέγαμε ότι η γραφική παράσταση κάποιας από τις δύο συναρτήσεις “διατηρείται πάνω” από την γραφική παράσταση της άλλης στο Δ.

Διαίσθηση απόδειξης

Θεωρούμε την συνέπεια του θεωρήματος Bolzano (σ. 74 του σχολικού βιβλίου, οι χρωματικές επισημάνσεις δικές μου):

«Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται σ’ αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε x∈Δ ή είναι αρνητική για κάθε x∈Δ, δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ»

Η τελευταία πρόταση μπορεί να διατυπωθεί ισοδύναμα ως εξής (τα ισοδύναμα τμήματα επισημαίνονται με το ίδιο χρώμα):

Έστω η συνάρτηση g για την οποία ισχύει g(x)=0 για κάθε xΔ. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο Δ και f(x)≠g(x) για κάθε x∈Δ, τότε ή f(x)>g(x) για κάθε x∈Δ ή f(x)<g(x) για κάθε x∈Δ, δηλαδή η γραφική παράσταση κάποιας από τις δύο συναρτήσεις “διατηρείται πάνω” από την γραφική παράσταση της άλλης στο Δ.

gg1

Οπότε, δημιουργείται η διαίσθηση της γενίκευσης της παραπάνω συνέπειας του θεωρήματος Bolzano, θεωρώντας στην θέση της g μια οποιαδήποτε συνεχή στο Δ συνάρτηση, δηλαδή θεωρώντας το θεώρημα στην αρχή αυτής της δημοσίευσης.

Απόδειξη:

Θεωρούμε την συνάρτηση h ορισμένη στο Δ με h(x) = f(x) – g(x).

Για κάθε xΔ έχουμε:

f(x)≠g(x) ⇔ f(x) – g(x) ≠ 0 ⇔ h(x) ≠ 0 (1)

Ακόμη:

η h είναι συνεχής στο Δ, αφού προκύπτει από συνήθεις πράξεις μεταξύ συνεχών στο Δ συναρτήσεων (2)

Από την συνέπεια του θεωρήματος Bolzano (σχόλιο σελ. 74 σχολικού βιβλίου) λόγω των (1), (2), παίρνουμε ότι η h “διατηρεί πρόσημο” στο Δ, οπότε:

ή h(x) >0 για κάθε x∈Δ ή h(x) <0 για κάθε x∈Δ ⇔

ή f(x) – g(x) >0 για κάθε x∈Δ ή f(x) – g(x) <0 για κάθε x∈Δ⇔

ή f(x) > g(x) για κάθε x∈Δ ή f(x) < g(x) για κάθε x∈Δ ∎

Γιώργος Μπουγιούκας

Σημειώσεις πάνω στο θεώρημα Bolzano

Το θεώρημα Bolzano, σύμφωνα με την διατύπωση του σχολικού βιβλίου, είναι:

i)   Απόδειξη «σχολίου» του σχολικού βιβλίου Μαθηματικών Προσανατολισμού

Θα αποδείξουμε τον ισχυρισμό που εμφανίζεται στο σχόλιο για το θεώρημα Bolzano στο σχολικό βιβλίο στην σελίδα 74:

«Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται σ’ αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε x∈Δ ή είναι αρνητική για κάθε x∈Δ, δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ»

Απόδειξη:

Θα δείξουμε το ζητούμενο με απαγωγή σε άτοπο.

Υποθέτουμε ότι υπάρχει συνάρτηση f συνεχής στο Δ και χωρίς να μηδενίζεται σ’ αυτό, για την οποία ισχύουν και οι δύο παρακάτω ισχυρισμοί:

f(x)>0, για κάθε x∈Δ   (1)

f(x)<0, για κάθε x∈Δ   (2)

Από τον (1), αφού το Δ δεν είναι το κενό σύνολο, συνεπάγεται ότι υπάρχει x∈Δ τέτοιο ώστε f(x)>0, ενώ από τον (2) συνεπάγεται ότι δεν υπάρχει x∈Δ τέτοιο ώστε f(x)≥0, από το οποίο συνεπάγεται ότι δεν υπάρχει x∈Δ τέτοιο ώστε f(x)>0, άτοπο.

Υποθέτουμε τώρα ότι υπάρχει συνάρτηση f συνεχής στο Δ και χωρίς να μηδενίζεται σ’ αυτό, για την οποία δεν ισχύει κανένας από τους ισχυρισμούς (1), (2), με άλλα λόγια ισχύουν και οι δύο παρακάτω ισχυρισμοί:

Υπάρχει (τουλάχιστον ένα) x∈Δ τέτοιο ώστε f(x)≤0  (3)

Υπάρχει (τουλάχιστον ένα) x∈Δ τέτοιο ώστε f(x)≥0  (4)

Με βάση τον (3) θεωρούμε ένα στοιχείο α του Δ με f(α)≤0, και επειδή η f από την υπόθεσή μας δεν μηδενίζεται στο Δ, συνεπάγεται f(α)<0. Με βάση τον (4) θεωρούμε ένα στοιχείο β του Δ με f(β)≥0, και επειδή η f από την υπόθεσή μας δεν μηδενίζεται στο Δ, συνεπάγεται f(β)>0. Από τα προηγούμενα συνεπάγεται ότι f(α)∙f(β)<0, αλλά και α≠β (από τον ορισμό της συνάρτησης, αφού f(α)≠f(β)). Ακόμη, η f είναι συνεχής στο [α,β], εφόσον από την υπόθεσή μας είναι συνεχής στο Δ.

Θεωρώντας ότι α<β (δεν αλλάζει κάτι ουσιαστικά στην απόδειξη αν θεωρήσουμε την άλλη επιλογή, δηλαδή α>β), από το θεώρημα Bolzano (του οποίου οι προϋποθέσεις ισχύουν για το διάστημα [α,β] από την προηγούμενη παράγραφο), παίρνουμε ότι υπάρχει (τουλάχιστον ένα) x0∈(α,β), και επομένως υπάρχει (τουλάχιστον ένα) x0∈Δ όπου η f μηδενίζεται, άτοπο, αφού με βάση την υπόθεσή μας η f δεν μηδενίζεται στο Δ.

Επομένως, για τους ισχυρισμούς (1), (2) αποδείξαμε ότι δεν μπορεί να ισχύουν και οι δύο μαζί, αλλά δεν μπορεί να μην ισχύει και κανένας, άρα ισχύει ακριβώς ένας, αυτό που έπρεπε να δείξουμε. ∎

ii) Μια άλλη συνέπεια του θεωρήματος Bolzano

Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν δεν υπάρχει (κανένα) x0∈(α,β) τέτοιο ώστε f(x0)=0 (δηλαδή αν η εξίσωση f(x)=0 δεν έχει καμία ρίζα στο (α,β)), τότε ισχύει τουλάχιστον ένας από τους παρακάτω δύο ισχυρισμούς:
– Η f δεν είναι συνεχής στο [α,β] (5)
– f(α)∙f(β)≥0 (6)

Απόδειξη*:

Θα δείξουμε το ζητούμενο με απαγωγή σε άτοπο.

Υποθέτουμε ότι ο παραπάνω ισχυρισμός δεν ισχύει. Επομένως, υπάρχει συνάρτηση f ορισμένη στο [α,β] για την οποία δεν υπάρχει (κανένα) x0∈(α,β) τέτοιο ώστε f(x0)=0, χωρίς όμως να ισχύει τουλάχιστον ένας από τους παραπάνω ισχυρισμούς (5), (6). Ισχύει, δηλαδή, ότι και οι δύο ισχυρισμοί (5), (6) δεν ισχύουν, με άλλα λόγια ισχύει ότι η f είναι συνεχής στο [α,β] και f(α)∙f(β)<0.

Αφού, όμως, ισχύει ότι f είναι συνεχής στο [α,β] και f(α)∙f(β)<0, από το θεώρημα Bolzano παίρνουμε ότι υπάρχει (τουλάχιστον ένα) x0∈(α,β) τέτοιο ώστε f(x0)=0, το οποίο έρχεται σε αντίφαση με το συμπέρασμα που προκύπτει από την υπόθεσή μας σύμφωνα με το οποίο δεν υπάρχει (κανένα) x0∈(α,β) τέτοιο ώστε f(x0)=0. ∎

Εφαρμογή

Ισχύει ή όχι ο παρακάτω ισχυρισμός;

Αν μια συνάρτηση f ορισμένη στο [α,β] δεν μηδενίζεται στο (α, β) και επιπλέον ισχύει f(α)>0 και f(β)<0, τότε η f δεν είναι συνεχής στο [α,β].

Απάντηση:

Αφού η f δεν μηδενίζεται στο (α,β), από την ii) συνεπάγεται ότι ισχύει τουλάχιστον ένας από τους ισχυρισμούς (5), (6). Όμως, ο (6) αποκλείεται να ισχύει αφού από την υπόθεσή μας παίρνουμε ότι f(α)∙f(β)<0. Άρα, ισχύει ο (5), δηλαδή η f δεν είναι συνεχής στο [α,β]. Ο παραπάνω ισχυρισμός, επομένως, ισχύει.


* Η ii) προκύπτει και μέσω του νόμου της Μαθηματικής Λογικής ο οποίος είναι γνωστός ως «αντιθετοαντιστροφή» και μας λέει ότι αν p, q είναι δύο ισχυρισμοί, τότε οι παρακάτω δύο ισχυρισμοί είναι ισοδύναμοι:

  • p ⇒ q
  • όχι q ⇒ όχι p

Για την απόδειξη της ii) μ’ αυτόν τον τρόπο θα χρειαστούμε επιπλέον και τον ακόλουθο νόμο της Μαθηματικής Λογικής:

Η άρνηση του ισχυρισμού «ισχύει ο ισχυρισμός r1 και (επιπλέον) ο r2»  είναι ισοδύναμη με τον παρακάτω ισχυρισμό:

Ισχύει τουλάχιστον ένας από τους παρακάτω ισχυρισμούς:

α) δεν ισχύει ο r1

β) δεν ισχύει ο r2

Αυτός ο τελευταίος νόμος της Μαθηματικής Λογικής είναι γνωστός και ως ένας από τους «Νόμους De Morgan»  (ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η χρήση αυτών των νόμων και στο μάθημα της ΑΕΠΠ! – βλ. την δημοσίευση Σχετικά με το θέμα Α1 των πανελλαδικών της ΑΕΠΠ του 2017.)

Οπότε, θεωρώντας τους παρακάτω τρεις ισχυρισμούς για κάθε συνάρτηση f ορισμένη σε κάποιο [α,β],

Η f είναι συνεχής στο [α,β]  (7)

f(α)∙f(β)<0  (8)

Υπάρχει (τουλάχιστον ένα) x0∈(α,β) τέτοιο ώστε f(x0)=0  (9),

το θεώρημα Bolzano είναι η συνεπαγωγή, για κάθε συνάρτηση f ορισμένη σε κάποιο [α,β]:

(Ισχύει ο (7) και επιπλέον ο (8)) ⇒ (9)

Μέσω αντιθετοαντιστροφής, παίρνουμε:

όχι (9) ⇒ όχι (Ισχύει ο (7) και επιπλέον ο (8))

Και μέσω του Νόμου De Morgan:

όχι (9) ⇒ ισχύει τουλάχιστον ένας από τους (όχι (7)), (όχι (8))

Γιώργος Μπουγιούκας

Γιατί δεν υπάρχει πρόσβαση στα τμήματα Μαθηματικών από το πεδίο Επιστημών Οικονομίας και Πληροφορικής;

Ο μαθηματικός Κουρτ Γκέντελ. Απέδειξε ότι οι πρωτόγονες αναδρομικές συναρτήσεις είναι αναπαραστάσιμες στην πρωτοβάθμια αριθμητική Peano.

Οι υποψήφιοι/ες του πεδίου Επιστημών Οικονομίας και Πληροφορικής εξετάζονται στα ίδια ακριβώς θέματα με τους υποψήφιους/ες του πεδίου Θετικών και Τεχνολογικών Επιστημών για το μάθημα των Μαθηματικών (με τον υψηλότερο συντελεστή 1.3), ενώ εξετάζονται και στο μάθημα της Ανάπτυξης Εφαρμογών σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον, το οποίο έχει ισχυρή δομική συνάφεια με επιπλέον τρία (!) μαθηματικά αντικείμενα:

  1. Αλγόριθμοι και γενικότερα υπολογιστικές διαδικασίες (αναπαριστάνονται στην πρωτοβάθμια αριθμητική Peano)
  2. Δίτιμη Άλγεβρα Boole («λογικές εφράσεις» της Γλώσσας της ΑΕΠΠ )
  3.  Προτασιακή Λογική (η συνάφεια με την  δίτιμη άλγεβρα Boole είναι προφανής)

Επομένως, οι υποψήφιοι/ες του πεδίου Επιστημών Οικονομίας και Πληροφορικής εξετάζονται πρακτικά σε συνάφεια με τέσσερα (!) μαθηματικά αντικείμενα, και όχι μόνο στην Ανάλυση, όπως συμβαίνει με τους υποψήφιους/ες του πεδίου Θετικών και Τεχνολογικών Επιστημών. Δεν συνιστά έκπληξη, λοιπόν, που όλα τα τμήματα Μαθηματικών έχουν δηλώσει ρητά ότι επιθυμούν οι υποψήφιοί τους να εξετάζονται στο μάθημα της Πληροφορικής (Η πρόταση για Χημεία η Πληροφορική στις Πανελλαδικές). Εξάλλου περιλαμβάνουν πολλά μαθήματα σχετικά με τον Προγραμματισμό στα προγράμματα σπουδών τους. Παρόλ’ αυτά, οι υποψήφιοι/ες του πεδίου Επιστημών Οικονομίας και Πληροφορικής δεν έχουν πρόσβαση στα τμήματα Μαθηματικών;

Γιώργος Μπουγιούκας