Υπολογίζοντας το εμβαδό κάτω από την καμπύλη με την Πληροφορική των Πανελλαδικών

Στο μάθημα των Μαθηματικών Προσανατολισμού… Γ’ Λυκείου ο υπολογισμός του εμβαδού ανάμεσα σε μια καμπύλη και τον άξονα των x από μία τιμή α μέχρι μία τιμή β γίνεται κλασικά μέσω του υπολογισμού της έκφρασης του αόριστου ολοκληρώματος: αν αυτή η έκφραση είναι G(x), τότε το ζητούμενο εμβαδό είναι G(β)-G(α). Όμως, ο υπολογισμός της έκφρασης του αόριστου ολοκληρώματος δεν είναι πάντα εύκολη υπόθεση! Δοκιμάστε για παράδειγμα την ολοκλήρωση της παρακάτω συνάρτησης:

Ας δούμε ένα απλό πρόγραμμα στην Γλώσσα του μαθήματος της Πληροφορικής της Γ’ Λυκείου το οποίο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τoν υπολογισμό του εμβαδού όχι μόνο στην παραπάνω περίπτωση, αλλά και για κάθε συνάρτηση της οποίας δίνεται ο τύπος.

Το παραπάνω πρόγραμμα βασίζεται άμεσα στον ορισμό του ορισμένου ολοκληρώματος, ως το όριο του αθροίσματος των εμβαδών των ορθογωνίων στα οποία μπορεί να χωριστεί η επιφάνεια κάτω από την καμπύλη, καθώς το πλήθος αυτών των ορθογωνίων τείνει στο άπειρο (ισοδύναμα καθώς η ποσότητα δχ τείνει στο 0) – βλ. ενότητα 3.4, “Ορισμένο ολοκλήρωμα”, Μαθηματικά Γ’ Τάξης ΓΕΛ Ομάδας Προσανατολισμού... Από αυτόν τον ορισμό συνεπάγεται ότι μπορούμε να πετύχουμε όσο καλή προσέγγιση του εμβαδού θέλουμε επιλέγοντας μια ανάλογα μεγάλη τιμή του πλήθους των ορθογωνίων.

Το τελευταίο πλήθος εκφράζεται από την μεταβλητή ν στο παραπάνω πρόγραμμα, ενώ το εμβαδό του ι-οστού ορθογωνίου από την έκφραση f(α+ι*δχ)*δχ, όπου δχ είναι η μία διάσταση του ορθογωνίου και f(α+ι*δχ) η άλλη, όπου f είναι μία συνάρτηση με δεδομένο αναλυτικό τύπο, της οποίας κάποιο ορισμένο ολοκλήρωμα ζητείται– τέτοιες συναρτήσεις μπορούν εύκολα να κωδικοποιηθούν στην ΓλώσσαΗ μεταβλητή Σ κρατάει το άθροισμα των εμβαδών των ορθογωνίων.

Η μεταβλητή δχ είναι αντιστρόφως ανάλογη της μεταβλητής ν: όσο μεγαλύτερη η μία, τόσο μικρότερη η άλλη. Για την παραπάνω εμφανιζόμενη τιμή δχ=0.001 το πρόγραμμα δίνει ικανοποιητική επίλυση σε διάφορες περιπτώσεις, αλλά ανάλογα με το εύρος του διαστήματος [α, β] και την απαιτούμενη τιμή δχ, ο αριθμός ν μπορεί να υπερβαίνει το φράγμα 105. Η συγκεκριμένη τιμή επιλέχτηκε λόγω του ότι η υπολογιστική της αντιμετώπιση είναι εφικτή στους περισσότερους Η/Υ που κυκλοφορούν εκεί έξω. Φυσικά, μπορείτε να θέσετε μεγαλύτερη τιμή, ανάλογα και με τις δυνατότητες του υπολογιστή σας.

Ας δούμε το πρόγραμμά μας στην πράξη. Θα υπολογίσουμε το παρακάτω ολοκλήρωμα (το οποίο δεν μπορεί να υπολογιστεί με την μεθοδολογία που περιγράφεται στα Μαθηματικά Προσανατολισμού… της Γ’ ΓΕΛ ):

Κωδικοποιούμε την συνάρτηση f (και φυσικά θέτουμε α=0 και β=10):

Η εκτέλεση του προγράμματος στον Διερμηνευτή της Γλώσσας δίνει 0.88672693.  Δοκιμάζουμε μια μικρότερη τιμή για το δχ, 0.0001 και παίρνουμε 0.88627693. Παρατηρείστε ότι ο αριθμός αριστερά από την υποδιαστολή και τα τρία πρώτα δεκαδικά ψηφία δεν άλλαξαν, γεγονός που συνιστά μια ένδειξη (όχι όμως  και απόδειξη) ότι ο αριθμός αριστερά από την υποδιαστολή και τα τρία πρώτα δεκαδικά του αποτελέσματος είναι αυτά ακριβώς! Ας τσεκάρουμε το αποτέλεσμά μας με ένα καταξιωμένο λογισμικό όπως το Wolfram|Alpha, το οποίο δίνει 0.886227

(https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+e%5E%28-x%5E2%29+from+0+to+10)

Ας δούμε ένα άλλο ολοκλήρωμα, το οποίο επίσης δεν φαίνεται και πολύ εύκολο:

Κωδικοποιούμε την συνάρτηση στην Γλώσσα:

Η εκτέλεση του προγράμματος για δχ=0.001 δίνει 3052491665.01952. Δοκιμάζουμε για μικρότερο δχ, 0.0001, και παίρνουμε 3056988940.38689. Παρατηρούμε ότι τα τρία πρώτα ψηφία αριστερά από την υποδιαστολή δεν άλλαξαν. Το Wolfram|Alpha δίνει 3057488912.86528.

(https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+%CF%87%5E%CF%87+from+0+to+10)

Η ποσοστιαία απόκλιση της δεύτερης τιμής που έδωσε το πρόγραμμά μας από την τιμή του Wolfram|Alpha είναι 0.016%.

Μια άλλη (κάπως πιο εύκολη για τα Μαθηματικά) περίπτωση:

Η επίλυση του αόριστου ολοκληρώματος που δίνει το Wolfram|Alpha μοιάζει κάπως έτσι:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+1%2F%28%28x-3%29%5E4%2B1%2F2%29

Διαμορφώνουμε την f στο πρόγραμμά μας:

Οπότε, με την εκτέλεση για δχ=0.001 παίρνουμε 3.72272538. Δοκιμάζουμε για δχ=0.0001 και παίρνουμε 3.72272005. Παρατηρούμε ότι η τιμή αριστερά από την υποδιαστολή και τα πέντε πρώτα δεκαδικά ψηφία δεν άλλαξαν. To Wolfram|Alpha δίνει 3.72272

(https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+1%2F%28%28x-3%29%5E4%2B1%2F2%29+from+0+to+10 )

Ας δούμε, τέλος, και μια εύκολη (για τα Μαθηματικά) περίπτωση:

Κωδικοποιούμε την συνάρτηση:

Για δχ=0.001 παίρνουμε 333.283335. Για δχ=0.0001 παίρνουμε 333.32833335.  Από την γνωστή παράγουσα της συνάρτησης παίρνουμε 10^3/3 =333.3333…

Αξίζει να σημειώσουμε ότι ο κλάδος της Πληροφορικής που μελετάει τα προβλήματα της Ανάλυσης από καθαρά υπολογιστική σκοπιά – η οποία έχει και ιδιαίτερη σημασία για την επιστημονική μοντελοποίηση και έρευνα – ονομάζεται Αριθμητική Ανάλυση.

*Οι εικόνες του κώδικα του προγράμματος είναι screenshots από τον Διερμηνευτή της Γλώσσας

Γιώργος Μπουγιούκας

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Google

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για την εξάλειψη των ανεπιθύμητων σχολίων. Μάθετε πως επεξεργάζονται τα δεδομένα των σχολίων σας.