Μια παρατήρηση περί Μαθηματικής Λογικής σε άσκηση του βιβλίου Μαθηματικών της Β’ Γυμνασίου

Στην σελίδα 43 του σχολικού βιβλίου Μαθηματικών της Β’ Γυμνασίου υπάρχει η εξής άσκηση:

Καταρχάς, υποθέτουμε ότι η εκφώνηση εννοεί “Για κάθε θετικό αριθμό x, στις παρακάτω προτάσεις επιλέξτε τη σωστή απάντηση”. Πολλές φορές στα Μαθηματικά χρειάζεται να υποθέσουμε αυτό το “για κάθε” το οποίο δεν λέγεται ρητά. Αυτό ίσως δεν είναι πρόβλημα για κάποιον που έχει κάποια εξοικείωση με τα Μαθηματικά, ωστόσο θεωρώ δεν ενδείκνυται κατά την διδασκαλία των Μαθηματικών σε αρχάριους. Η έννοια μιας ιδιότητας η οποία αφορά όλα τα στοιχεία ενός συνόλου, η οποία ισχύει για κάθε στοιχείο ενός συνόλου, είναι απλή στην κατανόηση όσο και στοιχειώδης για τα Μαθηματικά. Δεν βλέπω κάποιον λόγο για να υπονοείται χωρίς να λέγεται ρητά, ειδικά σε τέτοιες περιπτώσεις. Και είναι κάτι που συμβαίνει ακόμα και σε θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων, για παράδειγμα στο θέμα Α1 των Πανελλαδικών του 2017:

Φυσικά, αυτό που εννοείται είναι “Για κάθε συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ, αν f'(x)>0 …”.

Ας υποθέσουμε όμως ότι κάτι τέτοιο δεν δημιουργεί πρόβλημα εδώ – έχουμε κατανοήσει καλά τη σημασία του “για κάθε” – και ας εστιάσουμε στο ερώτημα 3 της άσκησης. Καλούμαστε, λοιπόν, δεδομένης της “υπόθεσης” (), να βρούμε το “συμπέρασμα” (ένα (;) από τα Α, Β, Γ, Δ, Ε) σ’ έναν “τύπο” της μορφής (έτσι ώστε ο τελευταίος να είναι αληθής):

Αν “ΥΠΟΘΕΣΗ”, ΤΟΤΕ “ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ”

Ένας τύπος αυτής της μορφής είναι γνωστός και ως “λογική συνεπαγωγή”, ή απλά “συνεπαγωγή”, και εκφράζεται συχνά με .

Το θέμα εδώ είναι ότι η υπόθεση  είναι ψευδής για κάθε θετικό αριθμό x, γεγονός το οποίο μας επιτρέπει να επιλέξουμε ως σωστές όλες (!) τις πιθανές απαντήσεις, δηλαδή την Α, την Β, την Γ, την Δ και την Ε.  Αυτό συμβαίνει διότι στα Μαθηματικά ένας τύπος της μορφής Αν “ΥΠΟΘΕΣΗ”, ΤΟΤΕ “ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ” είναι αληθής ανεξάρτητα από το συμπέρασμα, αν η υπόθεση είναι ψευδής. Κάτι τέτοιο είναι σύμφωνο με την κοινή λογική, και τα Μαθηματικά διέπονται από την κοινή λογική.

Ας δούμε ένα παράδειγμα από την καθομιλουμένη, μία πρόταση η οποία προσιδιάζει στην μορφή της λογικής συνεπαγωγής, την οποία θα ονομάσουμε Π1 :

Αν βρέχει, τότε έχει συννεφιά (Π1)

Διάλεξα το παραπάνω παράδειγμα επίτηδες, για να δείξω ότι το μαθηματικό/λογικό σχήμα “υπόθεση-συμπέρασμα” δεν πρέπει να συγχέεται με το «φυσικό» σχήμα “αίτιο-αποτέλεσμα” – η βροχή, προφανώς, δεν είναι το φυσικό αίτιο της συννεφιάς!

Καταρχάς, η Π1 δεν μας δίνει καμία πληροφορία, ούτε για το αν βρέχει, ούτε για το αν έχει συννεφιά, με άλλα λόγια δεν μας δίνει καμία πληροφορία ούτε για την υπόθεση την ίδια, ούτε για το συμπέρασμα το ίδιο (αντίστροφα, όμως, άραγε η ισχύς ή μη της υπόθεσης της ίδιας, ή η ισχύς ή μη του συμπεράσματος του ίδιου, μας δίνουν κάποια πληροφορία για την ισχύ της Π1 ; Θα το δούμε παρακάτω). Μας δίνει όμως την πληροφορία ότι στην περίπτωση που ισχύει η υπόθεση, τότε (υποχρεωτικά) ισχύει και το συμπέρασμα. Με άλλα λόγια, αρκεί να ισχύει η υπόθεση για να ισχύει το συμπέρασμα. Ή η ισχύς της υπόθεσης είναι ικανή συνθήκη ώστε να ισχύει το συμπέρασμα.

Ας θεωρήσουμε τώρα ότι η υπόθεση δεν ισχύει. Μεταβάλλει αυτό την ισχύ της πρότασης Π1; Δηλαδή, όταν δεν βρέχει, αλλάζει κάτι όσον αφορά την ισχύ της πρότασης “Αν βρέχει, τότε έχει συννεφιά”; Φυσικά και  δεν αλλάζει,  επομένως η μη ισχύς της υπόθεσης δεν επηρεάζει την ισχύ μιας πρότασης της μορφής της Π1.

Για να δούμε τι γίνεται όταν η υπόθεση ισχύει. Δύο περιπτώσεις έχουμε εδώ: είτε ισχύει το συμπέρασμα, είτε δεν ισχύει. Το να ισχύει το συμπέρασμα με βάση τα παραπάνω καθιστά την Π1 αληθή: απολύτως λογικό, βρέχει και έχει συννεφιά, η Π1 ισχύει. Αν όμως δεν ισχύει το συμπέρασμα, δηλαδή αν βρέχει και δεν έχει συννεφιά, τότε η αλήθεια της Π1 καταρρέει. Με άλλα λόγια η αλήθεια της Π1 καταρρέει μόνο αν βρέχει και δεν έχει συννεφιά. Σ’ όλες τις άλλες περιπτώσεις η Π1 παραμένει αληθής.

Αυτή είναι κοινή-καθημερινή λογική και στα Μαθηματικά αποκρυσταλλώνεται στον παρακάτω “πίνακα αλήθειας”, όπου παρουσιάζονται όλες οι δυνατές τιμές αλήθειας της υπόθεσης και του συμπεράσματος μαζί με την αντίστοιχη λογική αποτίμηση της συνεπαγωγής, δηλαδή του τύπου της μορφής ΑΝ “ΥΠΟΘΕΣΗ”, ΤΟΤΕ “ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ”:

Παρατηρείστε ότι όταν η υπόθεση είναι ψευδής δεν χρειάζεται να γνωρίζουμε το συμπέρασμα για να αποφασίσουμε την ισχύ της συνεπαγωγής, ανεξάρτητα από το συμπέρασμα η συνεπαγωγή είναι αληθής. Με άλλα λόγια, από μια ψευδή υπόθεση, μπορούμε να βγάλουμε οποιοδήποτε συμπέρασμα. Επομένως, στο 3ο ερώτημα της δεδομένης άσκησης όπου για κάθε θετικό αριθμό x η υπόθεση είναι ψευδής, μπορούμε να βγάλουμε οποιοδήποτε συμπέρασμα, για κάθε θετικό αριθμό x. Άρα, όλες οι δεδομένες απαντήσεις είναι σωστές (Α, Β, Γ, Δ και Ε).

Γιώργος Μπουγιούκας

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Google

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για την εξάλειψη των ανεπιθύμητων σχολίων. Μάθετε πως επεξεργάζονται τα δεδομένα των σχολίων σας.