Μηδέν στη μηδενική μπορεί και επιβάλλεται να ορίζεται ίσο με ένα

τελευταία ενημέρωση: 23/3/2017, 12:05


Σημείωση: «Μηδέν στη μηδενική» είναι φυσικά η δύναμη εκείνη με βάση την πραγματική σταθερή 0 και εκθέτη την πραγματική σταθερή 0. Και είναι αυτή η δύναμη η οποία θεωρείται ότι δεν ορίζεται στο βιβλίο μαθηματικών της Γ’ Γυμνασίου (σ.17), και συνεπώς γενικότερα στα μαθηματικά της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης. Το πιθανότερο, το ίδιο ισχύει και για την τριτοβάθμια εκπαίδευση όσον αφορά τουλάχιστον τον μαθηματικό κλάδο της ανάλυσης.


Δεν υπάρχει τίποτα στα μαθηματικά (τουλάχιστον μέχρι τώρα) που να απαγορεύει τον ορισμό 00=1. Αντίθετα, όλα τον υπαγορεύουν. Πιο αναλυτικά:

Α) Οι συνήθεις “αποδείξεις” για δήθεν αντιφάσεις οι οποίες προκύπτουν από αυτόν τον ορισμό, καταρρίπτονται:

#1 Διαιρώντας με το 0, εφαρμόζοντας με απροσεξία γνωστή ιδιότητα των δυνάμεων , δεν αποδεικνύεται τίποτα:

Έστω ότι ορίζεται 00=1, τότε:

Φυσικά, άκυρη απόδειξη, αφού η γνωστή ιδιότητα των δυνάμεων στο δεύτερο βήμα δεν μπορεί να εφαρμοστεί στην συγκεκριμένη περίπτωση, εφόσον η δύναμη 01 δεν ορίζεται (διαίρεση με το 0).

Για να το κάνουμε ακόμα πιο ξεκάθαρο, εφαρμόζοντας αυτήν την ιδιότητα των δυνάμεων εκεί που δεν εφαρμόζεται, όπως ακριβώς προηγουμένως, θα “αποδείξουμε” ότι δεν ορίζεται ο πραγματικός αριθμός 02:

#2 Εφαρμόζοντας με απροσεξία γνωστή ιδιότητα των λογαρίθμων, δεν αποδεικνύεται τίποτα:

Έστω ότι ορίζεται 00=1, τότε:

Αντίφαση”, αφού ο λογάριθμος του 00=1 ορίζεται και είναι το 0, ενώ ο λογάριθμος του 0 δεν ορίζεται.

Το πρόβλημα εδώ είναι ότι η εφαρμογή της γνωστής ιδιότητας των λογαρίθμων απαιτεί η βάση της δύναμης να είναι θετική! Για να το κάνουμε ακόμα πιο ξεκάθαρο, με αυτή την απροσεξία θα “αποδείξουμε” ότι δεν ορίζεται ο πραγματικός αριθμός 4:

(Δεν ορίζεται λογάριθμος αρνητικού αριθμού)

#3 Διαισθητικά ή εφαρμόζοντας αυθαίρετους κανόνες οι οποίοι αντιφάσκουν με τους ισχύοντες, δεν αποδεικνύεται τίποτα:

Έστω η συνάρτηση f(x)= x0 ορισμένη στο ℝ\{0} και η συνάρτηση g(x)= 0x ορισμένη στο (0, ):

Αυτό ήταν (το επιχείρημα), δεν συναντάται κάπου κάποια συντακτική συνέχεια η οποία να αποδεικνύει ο,τιδήποτε!

Μήπως, όμως, υπονοείται ότι…η συντακτική συνέχεια είναι τόσο τετριμμένη που δεν χρήζει καν αναφοράς; Για να δούμε. Έστω, ότι ορίζεται 00=1. Μπορούν, τότε, οι παραπάνω συναρτήσεις να οριστούν η f(x) στο ℝ, η g(x) στο [0, ). Υπάρχει ο υπαινιγμός μήπως ότι μπορούμε τώρα να κάνουμε κάτι τέτοιο;

Οπότε, επειδή τα όρια καθώς το x τείνει στο x0 δεν μεταβάλλονται ορίζοντας 00=1, παίρνουμε…

Και τελικά…

“Αντίφαση”! Ωστόσο, και αυτή η “απόδειξη” έχει ήδη φτάσει η ίδια σε αντίφαση πριν προλάβει να φτάσει στο επιθυμητό αποτέλεσμα. Αυτό γίνεται ήδη στην σχέση (1) παραπάνω, απ’ όπου παίρνουμε ότι (θυμηθείτε, έχουμε υποθέσει 00=1):

Όμως, από τον ορισμό του ορίου, εφόσον για x>0 είναι g(x) = 0, ως γνωστό:

Αντίφαση! Καταλήξαμε σε αντίφαση, όχι εξαιτίας του ορισμού 00=1, αλλά επειδή το όριο στην (1) υπολογίστηκε με έναν αυθαίρετο κανόνα (αντικατάσταση με το 0 στον τύπο της συνάρτησης), το αποτέλεσμα του οποίου έρχεται σε αντίφαση με το αποτέλεσμα που προκύπτει από τον ορισμό του ορίου. Για να το κάνουμε ακόμα πιο ξεκάθαρο, έστω ότι 00 δεν ορίζεται και η ίση με την g(x), στην περίπτωση που 00=1 ορίζεται, συνάρτηση h(x):

Θέλοντας, τώρα, να υπολογίσουμε το όριο της g(x) καθώς το x τείνει στο 0 από δεξιά, αντικαθιστούμε το 0 στον τύπο της συνάρτησης:

Όμως, από τον ορισμό του ορίου προκύπτει ότι αυτό είναι 0.

Από τα παραπάνω, μεταξύ άλλων προφανών, προκύπτει ότι είτε ορίζεται 00=1, είτε δεν ορίζεται,  ΔΕΝ ισχύει ότι για κάθε f(x) και g(x) με όριο το 0 καθώς το x τείνει στο x0:

Προσέξτε ότι το δεύτερο μέλος της παραπάνω ισότητας είναι μια δύναμη με βάση και εκθέτη την πραγματική σταθερή 0 (00). Το πρώτο μέλος όποιος θέλει μπορεί να το ονομάσει “απροσδιόριστη μορφή 00”. Αυτά τα δύο, λοιπόν, δεν είναι ταυτόσημα! Τι «απροσδιόριστη» μορφή θα ήταν άραγε αυτή η οποία θα ήταν ταυτόσημη με κάτι…σταθερό; Από την άλλη, κάτι σταθερό το οποίο, ακριβώς, δεν είναι ταυτόσημο με κάτι «απροσδιόριστο»,  γιατί να μην ορίζεται;


Ας δούμε όμως τώρα το παραπάνω επιχείρημα ως καθαρή διαίσθηση. Πρόκειται για μια διαίσθηση του Cauchy, σε μια εποχή αρκετά μακρινή τόσο ώστε η συνολοθεωρία με το κενό της σύνολο να μην έχει καθιερωθεί ως θεμελιώδης πυρήνας των μαθηματικών όπως σήμερα, επομένως η ιδέα του γινομένου των στοιχείων του κενού συνόλου μάλλον να μην έχει κάποια ισχυρή σημασία (βλ. περίπτωση Δ) παρακάτω).

Ο Cauchy λοιπόν παρατήρησε ότι αν στην δύναμη 00, τόσο την βάση όσο και τον εκθέτη, τα αντικαταστήσουμε με συναρτήσεις μιας μεταβλητής οι οποίες έχουν όριο το 0 καθώς το x τείνει στο 0, το όριο της δύναμης, τότε, δεν είναι πάντα ίδιο. Με άλλα λόγια αν έχουμε μια δύναμη με βάση μια συνάρτηση μίας πραγματικής μεταβλητής η οποία έχει όριο το 0 καθώς το x τείνει στο 0, και εκθέτη μία (όχι απαραίτητα ίση) συνάρτηση της ίδιας μεταβλητής με τα ίδια χαρακτηριστικά, αυτό δεν προεξοφλεί το όριο της δύναμης. Αυτό οδήγησε τον Cauchy στην διαίσθηση ότι η δύναμη 00 δεν πρέπει να ορίζεται, απουσία οποιασδήποτε άλλης εύλογης δικαιολόγησης ενός ορισμού, όπως μια τέτοια παρέχεται σήμερα από την αρχή του κενού γινομένου, για παράδειγμα.

Δεν γνωρίζω αν εκείνη την εποχή οριζόταν το ακέραιο μέρος ενός πραγματικού αριθμού x, ⌊x⌋  (ο μεγαλύτερος ακέραιος ο οποίος είναι μικρότερος ή ίσος του x), πάντως σήμερα ορίζεται και κανείς δεν διαφωνεί ότι:

⌊0⌋ = 0

Αν στο ⌊0⌋ αντικαταστήσουμε το 0, κατ’ αντίστοιχο τρόπο όπως στην περίπτωση 00, με συναρτήσεις με όριο το 0 καθώς το x τείνει στο 0, έστω f(x)=x, g(x)=x2, h(x) =-x2, για το όριο του ακέραιου μέρους των τελευταίων συναρτήσεων καθώς το x τείνει στο 0, παίρνουμε:

Με άλλα λόγια, με βάση την διαίσθηση του Cauchy, το ακέραιο μέρος του 0 δεν θα έπρεπε να ορίζεται!


Υπάρχει, βέβαια, πάντα, και η εξόφθαλμη κατάρριψη:

H (α) είναι μία δύναμη με βάση και εκθέτη συναρτήσεις της ίδιας μεταβλητής. Η (β) είναι μια δύναμη με βάση και εκθέτη την πραγματική σταθερή 0. Καμία σχέση το ένα με το άλλο, είναι ξεκάθαρα δύο διαφορετικά πράγματα.

Να προσθέσουμε κι ένα συναρτησιακό σύμβολο στην (α):

Μήπως άρχισαν να μοιάζουν τώρα;

H (α) – η οποία ισούται τώρα με 1/e – μας λέει τώρα ότι καθώς το x πλησιάζει το 0 από δεξιά (χωρίς να το ακουμπάει), η δύναμη, της οποίας, τότε, τόσο η βάση όσο και ο εκθέτης τείνουν στο 0, χωρίς στην συγκεκριμένη περίπτωση να το ακουμπάνε, τείνει στο 1/e (χωρίς να το ακουμπάει). Η (β) παραμένει η δύναμη με εκθέτη και βάση σταθερά την πραγματική σταθερή 0, και όχι κάτι που τείνει στο 0. Καμία σχέση. Άλλο το ΕΙΝΑΙ, άλλο το ΤΕΙΝΕΙ.

Β) Ο πολλαπλασιασμός πραγματικών σταθερών θεμελιώνεται πάνω στον πολλαπλασιασμό ακεραίων (και όχι πάνω στην έννοια του ορίου της ανάλυσης)

Μια δύναμη με βάση και εκθέτη μια πραγματική σταθερή αναπαριστάνεται κλασσικά μέσω του πολλαπλασιασμού πραγματικών σταθερών. Για παράδειγμα (για α μη-αρνητικό εξ’ ορισμού του ριζικού συμβόλου):

Φυσικά, το ίδιο ισχύει και για την περίπτωση άρρητης βάσης ή/και εκθέτη, χρειαζόμαστε όμως τον ορισμό της πραγματικής σταθερής που ακολουθεί. Μια πραγματική σταθερή είναι τυπικά μια κλάση ισοδυναμίας ρητών ακολουθιών Cauchy και αναπαριστάνεται συντακτικά από οποιοδήποτε μέλος της κλάσης ισοδυναμίας. Για παράδειγμα η πραγματική σταθερή 0 αναπαριστάνεται ως η ρητή ακολουθία {0, 0, 0, …}, ή κατά σύμβαση απλά 0, ενώ η πραγματική σταθερή π αναπαριστάνεται ως ρητή ακολουθία {3, 3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159, ….} ή κατά σύμβαση απλά π. Το γινόμενο δύο πραγματικών αριθμών, δηλαδή δύο ρητών ακολουθιών Cauchy, ορίζεται ως η ρητή ακολουθία της οποίας κάθε όρος ισούται με το γινόμενο των αντίστοιχων όρων των παραγόντων (ακολουθιών), για παράδειγμα το γινόμενο π⋅e, ορίζεται ως εξής:

{3, 3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159, …. } ⋅ {2, 2.7, 2.71, 2.718, 2.7182, 2.71828, …} =

{3⋅2, 3.14 ⋅ 2.71, 3.141 ⋅2.718, 3.1415 ⋅2.7182, 3.14159 ⋅2.71828, …} =

{6, 8.5094, 8.537238, 8.5392253, 8.5397212652, …}

Ας δούμε τώρα τι γίνεται με μια δύναμη με βάση και εκθέτη άρρητους, π.χ πe:

πe = {32, 3.12.7, 3.142.71, 3.1412.718, 3.14152.7182, 3.141592.71828,…}

Κάθε όρος της τελευταίας πραγματικής (αυτή τη φορά) ακολουθίας (Cauchy) αναπαριστάνεται, λοιπόν, μέσω του πολλαπλασιασμού πραγματικών σταθερών, όπως είδαμε στο παράδειγμα με τον ρητό εκθέτη παραπάνω. Ο πολλαπλασιασμός πραγματικών σταθερών, όμως, και επομένως οποιαδήποτε δύναμη με βάση και εκθέτη πραγματικές σταθερές, θεμελιώνεται πάνω στον πολλαπλασιασμό ρητών σταθερών, ο οποίος φυσικά θεμελιώνεται πάνω στον πολλαπλασιασμό ακεραίων. Το να λέμε ότι η δύναμη (με βάση και εκθέτη πραγματικές σταθερές) 00 ορίζεται ή δεν ορίζεται με βάση την έννοια του ορίου της ανάλυσης,  είναι σαν να λέμε ότι ορίζεται ή δεν ορίζεται το γινόμενο δύο επί πέντε με βάση την ίδια έννοια. Δεν ορίζεται με βάση αυτήν την έννοια (βλ. CAUCHY’S CONSTRUCTION OF ℝ). Επομένως, το αν θα οριστεί ή όχι η δύναμη 00 είναι ζήτημα ενός περισσότερο θεμελιώδους επιπέδου, αυτού των ακέραιων αριθμών, και όχι της της ανάλυσης και των ορίων.

Γ) Η μαθηματική λογική συμφωνεί: οι μετα-μαθηματικές περιγραφές δεν μπορεί να μπερδεύονται με τα συντακτικά αντικείμενα

Μπορούμε, αν θέλουμε, να ονομάσουμε την έννοια του ορίου μιας δύναμης της οποίας τόσο η βάση όσο και ο εκθέτης είναι συναρτήσεις της ίδιας μεταβλητής οι οποίες συγκλίνουν στο 0 ή την έννοια του ότι η διμεταβλητή συνάρτηση f(x,y) = xy δεν είναι συνεχής στο (0,0) “απροσδιόριστη μορφή 00”, όπως ακριβώς μπορούμε να ονομάσουμε αυτές τις έννοιες “απροσδιόριστη μορφή 4” (πχ στην περίπτωση που αυτή η “απροσδιόριστη μορφή” είναι τέταρτη μεταξύ άλλων σε μια λίστα με «απροσδιόριστες μορφές»). Μήπως σε μια περίπτωση όπως η τελευταία θα λέγαμε ότι δεν ορίζεται η πραγματική σταθερή 4;

Δ) Η καθολική μαθηματική αρχή του κενού γινομένου

Το κενό γινόμενο ορίζεται στα μαθηματικά ως γινόμενο με μηδενικό πλήθος παραγόντων και ίσο με το το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού, δηλαδή το 1 – σε αντιστοιχία με το κενό άθροισμα, το οποίο ορίζεται ως άθροισμα με μηδενικό πλήθος όρων και ίσο με το ουδέτερο στοιχείο ως προς την πρόσθεση, δηλαδή το 0. Ουσιαστικά, όταν λέμε, για παράδειγμα, 20=1, εφαρμόζουμε την αρχή του κενού γινομένου:

Εάν υπάρχει γινόμενο με κανένα δυάρι (=20=1), με κανένα άσσο (=10=1), με κανένα τριάρι (=30=1), κοκ, για ποιο λόγο άραγε να μην υπάρχει γινόμενο με κανένα μηδέν (=00=1);

Ε) Οι αλγόριθμοι συμφωνούν

Έστω ότι η παραπάνω συνάρτηση στην εκπαιδευτική γλώσσα προγραμματισμού του ΑΕΠΠ έχει κατασκευαστεί για τον υπολογισμό της νιοστής δύναμης του φυσικού αριθμού μ≠0, με ν φυσικό αριθμό. Χωρίς καμία αλλαγή, η παραπάνω συνάρτηση αν δεχτεί ως ορίσματα τα ν=0 και μ=0 δίνει 1!

ΣΤ) Η ανάλυση συμφωνεί

Και οι πέτρες στην ανάλυση ξέρουν ότι η σειρά Taylor με κέντρο το 0 για την συνάρτηση ex είναι:

Με άλλα λόγια,  για κάθε x:

Από την προηγούμενη σχέση, για x=0 (εφόσον ισχύει για κάθε x) παίρνουμε:

(Συμφωνούμε όλοι, φαντάζομαι,  ότι 0!=1)


Ας δούμε, όμως, ένα παράδειγμα από το βιβλίο μαθηματικών προσανατολισμού Γ’ ΓΕΛ (σ.48), όπου παρατίθεται η παρακάτω συνέπεια (προηγούμενα παρουσιαζόμενου) θεωρήματος, με την προϋπόθεση ότι υπάρχει το όριο της συνάρτησης f(x) καθώς το x τείνει στο x0:

Παρατηρείστε την εξαίρεση του 0 από τις τιμές του φυσικού αριθμού ν. Γιατί, άραγε, αυτή η εξαίρεση, γιατί δεν ισχύει η παρακάτω σχέση;

Ας κάνουμε μία διερεύνηση. Με βάση την αρχή του αποκλειόμενου τρίτου, διακρίνουμε τις εξής δύο περιπτώσεις:

i) Υπάρχει δ>0 τέτοιο ώστε για κάθε x το οποίο ανήκει στο ( x0-δ, x0 )∪( x0 , x0+δ) να ισχύει f(x) ≠ 0.

Επομένως, υπάρχει διάστημα της μορφής ( x0-δ, x0 )∪( x0 , x0+δ) με δ>0 όπου:

(f(x))0=1

Οπότε:

Διακρίνουμε, τώρα, τις εξής δύο υποπεριπτώσεις:

i.i) Το όριο της f(x) καθώς το x τείνει στο x0 είναι διάφορο του 0:

Οπότε:

Συνεπώς, η (2) ισχύει σ’ αυτήν την περίπτωση.

i.ii) Το όριο της f(x) καθώς το x τείνει στο x0 είναι ίσο με 0:

Σ’ αυτήν την περίπτωση, «δεν ορίζεται» η παρακάτω δύναμη με βάση και εκθέτη την πραγματική σταθερή 0:

Όμως, αυτό είναι σαν να μην ορίζεται το παραπάνω αν δεν έχουμε ορίσει το 20 (=1),  το όριο της f(x) καθώς το x τείνει στο x0 να είναι ίσο με 2 και να υπάρχει δ>0 τέτοιο ώστε για κάθε x το οποίο ανήκει στο ( x0-δ, x0 )∪( x0 , x0+δ) να ισχύει f(x) ≠ 2. Αν είχαμε ορίσει 20=1, δεν θα υπήρχε κανένα (τουλάχιστον γνωστό) πρόβλημα. Το ίδιο ισχύει προφανώς και στην δεδομένη περίπτωση αν ορίσουμε 00=1!

ii) Για κάθε δ>0 υπάρχει x το οποίο ανήκει στο ( x0-δ, x0 )∪( x0 , x0+δ) τέτοιο ώστε f(x) = 0 (λογική άρνηση της i)).

Επομένως, η (f(x))0 «δεν ορίζεται» σε διάστημα της μορφής ( x0-δ, x0 )∪( x0 , x0+δ) με δ>0, οπότε ούτε συζήτηση για το όριό της καθώς το x τείνει στο x0. Η (f(x))0 «δεν ορίζεται» σε ένα τέτοιο διάστημα γιατί (και πάλι) θεωρείται ότι δεν ορίζεται η δύναμη με βάση και εκθέτη την πραγματική σταθερή 0. Κάνοντας τον σχετικό παραλληλισμό όπως στην περίπτωση i.ii), είναι σαν μην έχουμε ορίσει 20 (=1) και… για κάθε δ>0 να υπάρχει x το οποίο ανήκει στο ( x0-δ, x0 )∪( x0 , x0+δ) τέτοιο ώστε f(x) = 2. Ισχύουν τα ίδια συμπεράσματα με την περίπτωση i.ii).

Από τα παραπάνω συνεπάγεται ότι αν ορίζαμε 00=1, τότε η (2) θα ήταν θεώρημα!


Ένα άλλο παράδειγμα από το βιβλίο μαθηματικών προσανατολισμού Γ’ ΓΕΛ (σ. 106), όπου αναφέρεται ο γνωστός κανόνας παραγώγισης:

(xν)’ = νxν-1, για ν∈ℕ\{0,1}

Προσέξτε εδώ την εξαίρεση για ν=1. Αν είχε οριστεί 00=1, θα είχαμε:

(x1)’ = 1x1-1  = x0 = 1

Δηλαδή, το ίδιο ακριβώς αποτέλεσμα που παίρνουμε χωρίς τον ορισμό 00=1, χωρίς να είναι αναγκαία η εξαίρεση, αλλά ούτε και το επιπλέον θεώρημα (x)’ = 1.


Τέλος, ένα παράδειγμα από το βιβλίο μαθηματικών της Γ’ Γυμνασίου, όπου (σ.33) το μηδενικό πολυώνυμο εξαιρείται από τον κανόνα του βαθμού 0 για τα σταθερά πολυώνυμα και θεωρείται ότι «δεν έχει βαθμό».

Αν ορίζαμε 00=1, ο ορισμός του πολυωνύμου γίνεται, γρήγορα και κομψά:

Οπότε, ο βαθμός του πολυωνύμου μπορεί να οριστεί, εξίσου γρήγορα και κομψά, ως:

το ελάχιστο κ, για το οποίο ισχύει ότι για κάθε μ≤ν, αν μ>κ, τότε αμ= 0.

Οπότε, ο βαθμός του μηδενικού πολυωνύμου γίνεται 0 (όπως και των υπόλοιπων σταθερών πολυωνύμων), χωρίς κανένα απολύτως (γνωστό) πρόβλημα.


Το γενικό συμπέρασμα είναι το εξής:

Αν δεν ορίζονται όσα μπορεί να ορίζονται, όπως άλλωστε γίνεται σε πλήθος περιπτώσεων, αυξάνεται το πλήθος των εξαιρέσεων και μειώνεται το πλήθος των θεωρημάτων. Τα μαθηματικά της εποχής μας δεν λειτουργούν έτσι!

Ζ) Η στοιχειώδης άλγεβρα συμφωνεί

Παρακάτω παρατίθεται το διωνυμικό θεώρημα, στην διεθνώς κοινή του μορφή:

Απαιτεί τον ορισμό 00=1.

Η) Η συνδυαστική συμφωνεί

Δεδομένου ενός πεπερασμένου συνόλου Σ με κ∈ℕ πλήθος στοιχείων, το πλήθος των δυνατών ν-άδων οι οποίες μπορούν να σχηματιστούν με τα στοιχεία του Σ είναι κν. Επομένως, το πλήθος των δυνατών 0-άδων οι οποίες μπορούν να σχηματιστούν από στοιχεία του κενού συνόλου είναι 00=1, το οποίο ισχύει προφανώς.

Θ) Το Google συμφωνεί

.

.

.

Γιώργος Μπουγιούκας

4 σκέψεις σχετικά με το “Μηδέν στη μηδενική μπορεί και επιβάλλεται να ορίζεται ίσο με ένα

  1. Παράθεμα: Ορισμός δύναμης με εκθέτη φυσικό αριθμό |

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Google

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για την εξάλειψη των ανεπιθύμητων σχολίων. Μάθετε πως επεξεργάζονται τα δεδομένα των σχολίων σας.