Λογική και εξισώσεις

πηγή: Διάχυτος Υπολογισμός
Advertisements

Επαναληπτική Άσκηση στον Προγραμματισμό Υπολογιστών – Python (ΕΠΑΛ) 2019 – α

Θεωρείστε ως δεδομένη (δεν χρειάζεται να την κατασκευάσετε) την συνάρτηση subsum(A), όπου Α (θεωρείστε μη-κενή) λίστα ακεραίων (int). Η συνάρτηση subsum επιστρέφει True αν στην λίστα Α υπάρχουν κάποια στοιχεία (ένα ή περισσότερα) τα οποία έχουν άθροισμα μηδέν, σε διαφορετική περίπτωση επιστρέφει False. Για παράδειγμα, αν η Α περιέχει τις τιμές 5, -2, -3,  τότε η subsum θα επιστρέψει True, αφού 5-2-3=0, ενώ αν η Α περιέχει μόνο θετικές τιμές, θα επιστρέψει, προφανώς, False.

Κατασκευάστε ένα πρόγραμμα το οποίο να διαβάζει τις τιμές χιλίων ακεραίων, να τις καταχωρίζει στην λίστα A και – με την βοήθεια της συνάρτησης subsum – αν υπάρχουν κάποιες τιμές στην λίστα Α που έχουν άθροισμα μηδέν, να εμφανίζει σε μορφή λίστας έναν (οποιονδήποτε) συγκεκριμένο συνδυασμό στοιχείων που έχουν άθροισμα μηδέν, αλλιώς να εμφανίζει το μήνυμα “δεν υπάρχει συνδυασμός στοιχείων με άθροισμα 0”. Για παράδειγμα, στο πρώτο από τα παραπάνω δύο παραδείγματα αρκεί να εμφανίσει την λίστα [5, -2 , -3], ενώ στο δεύτερο θα πρέπει να εμφανίσει το μήνυμα “δεν υπάρχει συνδυασμός στοιχείων με άθροισμα 0”.

Γιώργος Μπουγιούκας

Επαναληπτική Άσκηση ΑΕΠΠ 2019-α

Photo by Franck V. on Unsplash

Θεωρείστε ως δεδομένη (δεν χρειάζεται να την κατασκευάσετε) την συνάρτηση υποάθροισμα(A, ν) : Λογική, όπου Α μονοδιάστατος πίνακας ακεραίων με 1000 στοιχεία και ν ακέραια μεταβλητή. Η συνάρτηση υποάθροισμα επιστρέφει Αληθής αν από την θέση 1 ως και την θέση ν του Α υπάρχουν κάποια στοιχεία (ένα ή περισσότερα) τα οποία έχουν άθροισμα μηδέν, σε διαφορετική περίπτωση επιστρέφει Ψευδής. Για παράδειγμα, αν ο Α περιέχει τις τιμές 5, -2, -3 από την θέση 1 μέχρι και την θέση ν, τότε η υποάθροισμα θα επιστρέψει Αληθής, αφού 5-2-3=0, ενώ αν ο Α περιέχει μόνο θετικές τιμές από την θέση 1 μέχρι και την θέση ν, θα επιστρέψει, προφανώς, Ψευδής.

Κατασκευάστε ένα πρόγραμμα το οποίο να διαβάζει τις τιμές χιλίων ακεραίων, να τις καταχωρίζει στον πίνακα Α και – με την βοήθεια της συνάρτησης υποάθροισμα – αν υπάρχουν κάποιες τιμές στο πίνακα Α που έχουν άθροισμα μηδέν, να εμφανίζει έναν (οποιονδήποτε) συγκεκριμένο συνδυασμό στοιχείων που έχουν άθροισμα μηδέν, αλλιώς να εμφανίζει το μήνυμα “δεν υπάρχει συνδυασμός στοιχείων με άθροισμα 0”. Για παράδειγμα, στο πρώτο από τα παραπάνω δύο παραδείγματα αρκεί να εμφανίσει τις τιμές 5,-2 και -3, ενώ στο δεύτερο θα πρέπει να εμφανίσει το μήνυμα “δεν υπάρχει συνδυασμός στοιχείων με άθροισμα 0”.

Εκτός ΟΠ Θετικών Σπουδών η ΑΕΠΠ; Γιατί;

42474837_591290871287566_5460539674021855232_n

πηγή: Διάχυτος Υπολογισμός

Τα Μαθηματικά του Κωσταντίνου Δασκαλάκη

Με την ευκαιρία της πρόσφατης βράβευσης του κου Κωσταντίνου Δασκαλάκη, ας πούμε λίγα λόγια για τα Μαθηματικά για τα οποία έγινε αυτή η βράβευση:

Daskalakis was honored by the International Mathematical Union (IMU) for “transforming our understanding of the computational complexity of fundamental problems in markets, auctions, equilibria, and other economic structures.”
ΜΙΤ News: Constantinos Daskalakis wins prestigious Nevanlinna Prize

Πρόκειται, λοιπόν, για Μαθηματικά που βασίζονται κυρίως στο μαθηματικό αντικείμενο ονομάζεται Θεωρία Υπολογισμού (Theory of Computation) και κυρίως στον κλάδο του που ονομάζεται Θεωρία Πολυπλοκότητας (Computational Complexity Theory).

Αυτά τα μαθηματικά αντικείμενα διδάσκονται σχεδόν αποκλειστικά όσον αφορά το υποχρεωτικό κομμάτι των προγραμμάτων σπουδών, στα τμήματα Πληροφορικής της τριτοβάθμιας εκπαίδευσης – δεν θα βρει κανείς αυτά τα αντικείμενα στην λίστα των υποχρεωτικών μαθημάτων του Μαθηματικού του ΕΚΠΑ για παράδειγμα, τουλάχιστον έτσι όπως αναφέρει ο οδηγός σπουδών 2017-2018 ο οποίος ανακτήθηκε στις 6/8/2018. Εξάλλου, όπως ίσως εύκολα μπορεί να καταλάβει κανείς από τα ονόματα αυτών των μαθηματικών αντικειμένων, για να έχεις μια οποιαδήποτε επαφή μ΄ αυτά πρέπει να γνωρίζεις πολύ καλά Προγραμματισμό Υπολογιστών, αφού αφορούν την μελέτη ιδιοτήτων των Προγραμμάτων.

Ο Προγραμματισμός Υπολογιστών είναι θεμέλιο των Επιστημών σήμερα, παρόλα αυτά στην Ελλάδα το μάθημα αυτό είναι ένα πανελλαδικό μάθημα της γενικής εκπαίδευσης που διδάσκεται μόνο στην Γ’ Λυκείου (ΑΕΠΠ) και μάλιστα λιγότερο από κάθε άλλο πανελλαδικό μάθημα (μόνο δύο ώρες). Ακόμα και με αυτές τις δύο ώρες ΑΕΠΠ, όμως, ένας μαθητής που έχει επιλέξει την κατεύθυνση Οικονομίας και Πληροφορικής μπορεί να έχει μια εικόνα για τα Μαθηματικά για τα οποία βραβεύτηκε ο Κωσταντίνος Δασκαλάκης. Το κεφάλαιο 5 μάλιστα του σχολικού βιβλίου περιλαμβάνει παράγραφο με θέμα «Πολυπλοκότητα Αλγορίθμων». Το ίδιο τυχεροί είναι και οι μαθητές του ΕΠΑΛ που εξετάζονται στο μάθημα Προγραμματισμός Υπολογιστών (με Python). Δυστυχώς αυτό δεν συμβαίνει με τους υποψήφιους της Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών από την οποία έχει αποκλειστεί το μάθημα της Πληροφορικής (πρακτικά και ουσιαστικά, αφού δεν εξετάζεται στις Πανελλαδικές), λες και η Πληροφορική δεν είναι πρώτα από όλα Θετική Επιστήμη!

Αυτή η υποβάθμιση της Πληροφορικής στην β/βάθμια εκπαίδευση, όπως μπορεί να αντιληφθεί οποιοσδήποτε έχει μια ενημερωμένη εικόνα για το γενικότερο επίπεδο των Επιστημών σήμερα, υποβαθμίζει τη συνολική ποιότητα της επιστημονικής εκπαίδευσης στην Ελλάδα. Σήμερα, είτε πρόκειται για Οικονομικές, είτε για Θετικές, είτε για Επιστήμες Υγείας είτε για οποιοδήποτε άλλο είδος Επιστήμης, αυτό που έχει ολοένα μεγαλύτερη σημασία είναι η μοντελοποίηση και μοντελοποίηση χωρίς Προγραμματισμό δεν υπάρχει, όχι μόνο ως εφαρμοστικό εργαλείο που συνοδεύει την “διακριτοποίηση”, αλλά και ως πρωτεύον μαθηματικό εργαλείο σε κάποιες περιπτώσεις: ένα παράδειγμα εδώ είναι το μοντέλο ροής υγρών/αερίων FHP, το οποίο είναι πλήρως διακριτό. Αξίζει να σημειώσουμε ότι η έννοια του «διακριτού» σχετίζεται με τους ακέραιους αριθμούς, ενώ η έννοια του «συνεχούς» με τους πραγματικούς αριθμούς (οι οποίοι, εξάλλου, είναι γνωστοί και ως «το συνεχές»). Το μοντέλο FHP, για παράδειγμα, είναι διακριτό γιατί περιγράφεται και λειτουργεί με χρήση μόνο ακέραιων αριθμών, όπως άλλωστε και ο ίδιος ο Προγραμματισμός!

Επιπλέον, πολλά φαινόμενα στην οικονομία, στην κοινωνία, στο διαδίκτυο και αλλού, δεν περιγράφονται πρωτογενώς με συνεχή εργαλεία, αλλά με διακριτά. Για παράδειγμα, «η εξάπλωση μιας άποψης στα κοινωνικά δίκτυα». Ακόμα και για τα φυσικά φαινόμενα, όμως, υπάρχει η διαίσθηση σ’ ένα μέρος της επιστημονικής κοινότητας ότι είναι και αυτά κατά βάση διακριτά! Η δήλωση του πολυβραβευμένου Φυσικού John Archibald Wheeler είναι ενδεικτική:

«It from bit. Otherwise put, every it — every particle, every field of force, even the space-time continuum itself — derives its function, its meaning, its very existence entirely — even if in some contexts indirectly — from the apparatus-elicited answers to yes-or-no questions, binary choices, bits. It from bit symbolizes the idea that every item of the physical world has at bottom — a very deep bottom, in most instances — an immaterial source and explanation; that which we call reality arises in the last analysis from the posing of yes-no questions and the registering of equipment-evoked responses; in short, that all things physical are information-theoretic in origin and that this is a participatory universe»

Ελπίζω, το Νέο Λύκειο που έχει εξαγγείλει, και θα ανακοινώσει εντός των ημερών, ο κος Γαβρόγλου να αποκαταστήσει την Πληροφορική εκπαίδευση στην Ελλάδα, εισάγοντας το μάθημα της Πληροφορικής και στις Θετικές Επιστήμες όπου είναι η φυσική του θέση, αυξάνοντας υπέρ του δέοντος  και τις ώρες διδασκαλίας του μαθήματος. Καλό θα ήταν να εισαχθεί και στο ΓΕΛ η γλώσσα προγραμματισμού Python μαζί με τα αντίστοιχα Μαθηματικά, γιατί όχι και λίγη Θεωρία Υπολογισμού μαζί με Μαθηματική Λογική!

Και πριν το Νέο Λύκειο (από την επόμενη χρονιά ουσιαστικά),  ήδη από φέτος θα μπορούσε να δοθεί η επιλογή στους υποψήφιους των Πανελλαδικών να έχουν πρόσβαση σ’ όλες τις σχολές της ΟΠ Θετικών Σπουδών διαγωνιζόμενοι στα ακόλουθα τέσσερα μαθήματα:

Γλώσσα, ΑΕΠΠ, Μαθηματικά Προσανατολισμού, Φυσική

(Δηλαδή με Φυσική αντί για ΑΟΘ στην ΟΠ Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής να «ξεκλειδώνονται» όλες οι σχολές της ΟΠ Θετικών Σπουδών).

Γιώργος Μπουγιούκας

Γενίκευση συνέπειας του θεωρήματος Bolzano

Αν δύο συναρτήσεις f, g είναι συνεχείς σε κάποιο διάστημα Δ και f(x)g(x) για κάθε x∈Δ, τότε ή f(x)>g(x) για κάθε x∈Δ ή f(x)<g(x) για κάθε x∈Δ, δηλαδή θα λέγαμε ότι η γραφική παράσταση κάποιας από τις δύο συναρτήσεις “διατηρείται πάνω” από την γραφική παράσταση της άλλης στο Δ.

Διαίσθηση απόδειξης

Θεωρούμε την συνέπεια του θεωρήματος Bolzano (σ. 74 του σχολικού βιβλίου, οι χρωματικές επισημάνσεις δικές μου):

«Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται σ’ αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε x∈Δ ή είναι αρνητική για κάθε x∈Δ, δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ»

Η τελευταία πρόταση μπορεί να διατυπωθεί ισοδύναμα ως εξής (τα ισοδύναμα τμήματα επισημαίνονται με το ίδιο χρώμα):

Έστω η συνάρτηση g για την οποία ισχύει g(x)=0 για κάθε xΔ. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο Δ και f(x)≠g(x) για κάθε x∈Δ, τότε ή f(x)>g(x) για κάθε x∈Δ ή f(x)<g(x) για κάθε x∈Δ, δηλαδή η γραφική παράσταση κάποιας από τις δύο συναρτήσεις “διατηρείται πάνω” από την γραφική παράσταση της άλλης στο Δ.

gg1

Οπότε, δημιουργείται η διαίσθηση της γενίκευσης της παραπάνω συνέπειας του θεωρήματος Bolzano, θεωρώντας στην θέση της g μια οποιαδήποτε συνεχή στο Δ συνάρτηση, δηλαδή θεωρώντας το θεώρημα στην αρχή αυτής της δημοσίευσης.

Απόδειξη:

Θεωρούμε την συνάρτηση h ορισμένη στο Δ με h(x) = f(x) – g(x).

Για κάθε xΔ έχουμε:

f(x)≠g(x) ⇔ f(x) – g(x) ≠ 0 ⇔ h(x) ≠ 0 (1)

Ακόμη:

η h είναι συνεχής στο Δ, αφού προκύπτει από συνήθεις πράξεις μεταξύ συνεχών στο Δ συναρτήσεων (2)

Από την συνέπεια του θεωρήματος Bolzano (σχόλιο σελ. 74 σχολικού βιβλίου) λόγω των (1), (2), παίρνουμε ότι η h “διατηρεί πρόσημο” στο Δ, οπότε:

ή h(x) >0 για κάθε x∈Δ ή h(x) <0 για κάθε x∈Δ ⇔

ή f(x) – g(x) >0 για κάθε x∈Δ ή f(x) – g(x) <0 για κάθε x∈Δ⇔

ή f(x) > g(x) για κάθε x∈Δ ή f(x) < g(x) για κάθε x∈Δ ∎

Γιώργος Μπουγιούκας

Σημειώσεις πάνω στο θεώρημα Bolzano

Το θεώρημα Bolzano, σύμφωνα με την διατύπωση του σχολικού βιβλίου, είναι:

i)   Απόδειξη «σχολίου» του σχολικού βιβλίου Μαθηματικών Προσανατολισμού

Θα αποδείξουμε τον ισχυρισμό που εμφανίζεται στο σχόλιο για το θεώρημα Bolzano στο σχολικό βιβλίο στην σελίδα 74:

«Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται σ’ αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε x∈Δ ή είναι αρνητική για κάθε x∈Δ, δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ»

Απόδειξη:

Θα δείξουμε το ζητούμενο με απαγωγή σε άτοπο.

Υποθέτουμε ότι υπάρχει συνάρτηση f συνεχής στο Δ και χωρίς να μηδενίζεται σ’ αυτό, για την οποία ισχύουν και οι δύο παρακάτω ισχυρισμοί:

f(x)>0, για κάθε x∈Δ   (1)

f(x)<0, για κάθε x∈Δ   (2)

Από τον (1), αφού το Δ δεν είναι το κενό σύνολο, συνεπάγεται ότι υπάρχει x∈Δ τέτοιο ώστε f(x)>0, ενώ από τον (2) συνεπάγεται ότι δεν υπάρχει x∈Δ τέτοιο ώστε f(x)≥0, από το οποίο συνεπάγεται ότι δεν υπάρχει x∈Δ τέτοιο ώστε f(x)>0, άτοπο.

Υποθέτουμε τώρα ότι υπάρχει συνάρτηση f συνεχής στο Δ και χωρίς να μηδενίζεται σ’ αυτό, για την οποία δεν ισχύει κανένας από τους ισχυρισμούς (1), (2), με άλλα λόγια ισχύουν και οι δύο παρακάτω ισχυρισμοί:

Υπάρχει (τουλάχιστον ένα) x∈Δ τέτοιο ώστε f(x)≤0  (3)

Υπάρχει (τουλάχιστον ένα) x∈Δ τέτοιο ώστε f(x)≥0  (4)

Με βάση τον (3) θεωρούμε ένα στοιχείο α του Δ με f(α)≤0, και επειδή η f από την υπόθεσή μας δεν μηδενίζεται στο Δ, συνεπάγεται f(α)<0. Με βάση τον (4) θεωρούμε ένα στοιχείο β του Δ με f(β)≥0, και επειδή η f από την υπόθεσή μας δεν μηδενίζεται στο Δ, συνεπάγεται f(β)>0. Από τα προηγούμενα συνεπάγεται ότι f(α)∙f(β)<0, αλλά και α≠β (από τον ορισμό της συνάρτησης, αφού f(α)≠f(β)). Ακόμη, η f είναι συνεχής στο [α,β], εφόσον από την υπόθεσή μας είναι συνεχής στο Δ.

Θεωρώντας ότι α<β (δεν αλλάζει κάτι ουσιαστικά στην απόδειξη αν θεωρήσουμε την άλλη επιλογή, δηλαδή α>β), από το θεώρημα Bolzano (του οποίου οι προϋποθέσεις ισχύουν για το διάστημα [α,β] από την προηγούμενη παράγραφο), παίρνουμε ότι υπάρχει (τουλάχιστον ένα) x0∈(α,β), και επομένως υπάρχει (τουλάχιστον ένα) x0∈Δ όπου η f μηδενίζεται, άτοπο, αφού με βάση την υπόθεσή μας η f δεν μηδενίζεται στο Δ.

Επομένως, για τους ισχυρισμούς (1), (2) αποδείξαμε ότι δεν μπορεί να ισχύουν και οι δύο μαζί, αλλά δεν μπορεί να μην ισχύει και κανένας, άρα ισχύει ακριβώς ένας, αυτό που έπρεπε να δείξουμε. ∎

ii) Μια άλλη συνέπεια του θεωρήματος Bolzano

Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν δεν υπάρχει (κανένα) x0∈(α,β) τέτοιο ώστε f(x0)=0 (δηλαδή αν η εξίσωση f(x)=0 δεν έχει καμία ρίζα στο (α,β)), τότε ισχύει τουλάχιστον ένας από τους παρακάτω δύο ισχυρισμούς:
– Η f δεν είναι συνεχής στο [α,β] (5)
– f(α)∙f(β)≥0 (6)

Απόδειξη*:

Θα δείξουμε το ζητούμενο με απαγωγή σε άτοπο.

Υποθέτουμε ότι ο παραπάνω ισχυρισμός δεν ισχύει. Επομένως, υπάρχει συνάρτηση f ορισμένη στο [α,β] για την οποία δεν υπάρχει (κανένα) x0∈(α,β) τέτοιο ώστε f(x0)=0, χωρίς όμως να ισχύει τουλάχιστον ένας από τους παραπάνω ισχυρισμούς (5), (6). Ισχύει, δηλαδή, ότι και οι δύο ισχυρισμοί (5), (6) δεν ισχύουν, με άλλα λόγια ισχύει ότι η f είναι συνεχής στο [α,β] και f(α)∙f(β)<0.

Αφού, όμως, ισχύει ότι f είναι συνεχής στο [α,β] και f(α)∙f(β)<0, από το θεώρημα Bolzano παίρνουμε ότι υπάρχει (τουλάχιστον ένα) x0∈(α,β) τέτοιο ώστε f(x0)=0, το οποίο έρχεται σε αντίφαση με το συμπέρασμα που προκύπτει από την υπόθεσή μας σύμφωνα με το οποίο δεν υπάρχει (κανένα) x0∈(α,β) τέτοιο ώστε f(x0)=0. ∎

Εφαρμογή

Ισχύει ή όχι ο παρακάτω ισχυρισμός;

Αν μια συνάρτηση f ορισμένη στο [α,β] δεν μηδενίζεται στο (α, β) και επιπλέον ισχύει f(α)>0 και f(β)<0, τότε η f δεν είναι συνεχής στο [α,β].

Απάντηση:

Αφού η f δεν μηδενίζεται στο (α,β), από την ii) συνεπάγεται ότι ισχύει τουλάχιστον ένας από τους ισχυρισμούς (5), (6). Όμως, ο (6) αποκλείεται να ισχύει αφού από την υπόθεσή μας παίρνουμε ότι f(α)∙f(β)<0. Άρα, ισχύει ο (5), δηλαδή η f δεν είναι συνεχής στο [α,β]. Ο παραπάνω ισχυρισμός, επομένως, ισχύει.


* Η ii) προκύπτει και μέσω του νόμου της Μαθηματικής Λογικής ο οποίος είναι γνωστός ως «αντιθετοαντιστροφή» και μας λέει ότι αν p, q είναι δύο ισχυρισμοί, τότε οι παρακάτω δύο ισχυρισμοί είναι ισοδύναμοι:

  • p ⇒ q
  • όχι q ⇒ όχι p

Για την απόδειξη της ii) μ’ αυτόν τον τρόπο θα χρειαστούμε επιπλέον και τον ακόλουθο νόμο της Μαθηματικής Λογικής:

Η άρνηση του ισχυρισμού «ισχύει ο ισχυρισμός r1 και (επιπλέον) ο r2»  είναι ισοδύναμη με τον παρακάτω ισχυρισμό:

Ισχύει τουλάχιστον ένας από τους παρακάτω ισχυρισμούς:

α) δεν ισχύει ο r1

β) δεν ισχύει ο r2

Αυτός ο τελευταίος νόμος της Μαθηματικής Λογικής είναι γνωστός και ως ένας από τους «Νόμους De Morgan»  (ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η χρήση αυτών των νόμων και στο μάθημα της ΑΕΠΠ! – βλ. την δημοσίευση Σχετικά με το θέμα Α1 των πανελλαδικών της ΑΕΠΠ του 2017.)

Οπότε, θεωρώντας τους παρακάτω τρεις ισχυρισμούς για κάθε συνάρτηση f ορισμένη σε κάποιο [α,β],

Η f είναι συνεχής στο [α,β]  (7)

f(α)∙f(β)<0  (8)

Υπάρχει (τουλάχιστον ένα) x0∈(α,β) τέτοιο ώστε f(x0)=0  (9),

το θεώρημα Bolzano είναι η συνεπαγωγή, για κάθε συνάρτηση f ορισμένη σε κάποιο [α,β]:

(Ισχύει ο (7) και επιπλέον ο (8)) ⇒ (9)

Μέσω αντιθετοαντιστροφής, παίρνουμε:

όχι (9) ⇒ όχι (Ισχύει ο (7) και επιπλέον ο (8))

Και μέσω του Νόμου De Morgan:

όχι (9) ⇒ ισχύει τουλάχιστον ένας από τους (όχι (7)), (όχι (8))

Γιώργος Μπουγιούκας

Μια παρατήρηση περί Μαθηματικής Λογικής σε άσκηση του βιβλίου Μαθηματικών της Β’ Γυμνασίου

Στην σελίδα 43 του σχολικού βιβλίου Μαθηματικών της Β’ Γυμνασίου υπάρχει η εξής άσκηση:

Καταρχάς, υποθέτουμε ότι η εκφώνηση εννοεί “Για κάθε θετικό αριθμό x, στις παρακάτω προτάσεις επιλέξτε τη σωστή απάντηση”. Πολλές φορές στα Μαθηματικά χρειάζεται να υποθέσουμε αυτό το “για κάθε” το οποίο δεν λέγεται ρητά. Αυτό ίσως δεν είναι πρόβλημα για κάποιον που έχει κάποια εξοικείωση με τα Μαθηματικά, ωστόσο θεωρώ δεν ενδείκνυται κατά την διδασκαλία των Μαθηματικών σε αρχάριους. Η έννοια μιας ιδιότητας η οποία αφορά όλα τα στοιχεία ενός συνόλου, η οποία ισχύει για κάθε στοιχείο ενός συνόλου, είναι απλή στην κατανόηση όσο και στοιχειώδης για τα Μαθηματικά. Δεν βλέπω κάποιον λόγο για να υπονοείται χωρίς να λέγεται ρητά, ειδικά σε τέτοιες περιπτώσεις. Και είναι κάτι που συμβαίνει ακόμα και σε θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων, για παράδειγμα στο θέμα Α1 των Πανελλαδικών του 2017:

Φυσικά, αυτό που εννοείται είναι “Για κάθε συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ, αν f'(x)>0 …”.

Ας υποθέσουμε όμως ότι κάτι τέτοιο δεν δημιουργεί πρόβλημα εδώ – έχουμε κατανοήσει καλά τη σημασία του “για κάθε” – και ας εστιάσουμε στο ερώτημα 3 της άσκησης. Καλούμαστε, λοιπόν, δεδομένης της “υπόθεσης” (), να βρούμε το “συμπέρασμα” (ένα (;) από τα Α, Β, Γ, Δ, Ε) σ’ έναν “τύπο” της μορφής (έτσι ώστε ο τελευταίος να είναι αληθής):

Αν “ΥΠΟΘΕΣΗ”, ΤΟΤΕ “ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ”

Ένας τύπος αυτής της μορφής είναι γνωστός και ως “λογική συνεπαγωγή”, ή απλά “συνεπαγωγή”, και εκφράζεται συχνά με .

Το θέμα εδώ είναι ότι η υπόθεση  είναι ψευδής για κάθε θετικό αριθμό x, γεγονός το οποίο μας επιτρέπει να επιλέξουμε ως σωστές όλες (!) τις πιθανές απαντήσεις, δηλαδή την Α, την Β, την Γ, την Δ και την Ε.  Αυτό συμβαίνει διότι στα Μαθηματικά ένας τύπος της μορφής Αν “ΥΠΟΘΕΣΗ”, ΤΟΤΕ “ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ” είναι αληθής ανεξάρτητα από το συμπέρασμα, αν η υπόθεση είναι ψευδής. Κάτι τέτοιο είναι σύμφωνο με την κοινή λογική, και τα Μαθηματικά διέπονται από την κοινή λογική.

Ας δούμε ένα παράδειγμα από την καθομιλουμένη, μία πρόταση η οποία προσιδιάζει στην μορφή της λογικής συνεπαγωγής, την οποία θα ονομάσουμε Π1 :

Αν βρέχει, τότε έχει συννεφιά (Π1)

Διάλεξα το παραπάνω παράδειγμα επίτηδες, για να δείξω ότι το μαθηματικό/λογικό σχήμα “υπόθεση-συμπέρασμα” δεν πρέπει να συγχέεται με το «φυσικό» σχήμα “αίτιο-αποτέλεσμα” – η βροχή, προφανώς, δεν είναι το φυσικό αίτιο της συννεφιάς!

Καταρχάς, η Π1 δεν μας δίνει καμία πληροφορία, ούτε για το αν βρέχει, ούτε για το αν έχει συννεφιά, με άλλα λόγια δεν μας δίνει καμία πληροφορία ούτε για την υπόθεση την ίδια, ούτε για το συμπέρασμα το ίδιο (αντίστροφα, όμως, άραγε η ισχύς ή μη της υπόθεσης της ίδιας, ή η ισχύς ή μη του συμπεράσματος του ίδιου, μας δίνουν κάποια πληροφορία για την ισχύ της Π1 ; Θα το δούμε παρακάτω). Μας δίνει όμως την πληροφορία ότι στην περίπτωση που ισχύει η υπόθεση, τότε (υποχρεωτικά) ισχύει και το συμπέρασμα. Με άλλα λόγια, αρκεί να ισχύει η υπόθεση για να ισχύει το συμπέρασμα. Ή η ισχύς της υπόθεσης είναι ικανή συνθήκη ώστε να ισχύει το συμπέρασμα.

Ας θεωρήσουμε τώρα ότι η υπόθεση δεν ισχύει. Μεταβάλλει αυτό την ισχύ της πρότασης Π1; Δηλαδή, όταν δεν βρέχει, αλλάζει κάτι όσον αφορά την ισχύ της πρότασης “Αν βρέχει, τότε έχει συννεφιά”; Φυσικά και  δεν αλλάζει,  επομένως η μη ισχύς της υπόθεσης δεν επηρεάζει την ισχύ μιας πρότασης της μορφής της Π1.

Για να δούμε τι γίνεται όταν η υπόθεση ισχύει. Δύο περιπτώσεις έχουμε εδώ: είτε ισχύει το συμπέρασμα, είτε δεν ισχύει. Το να ισχύει το συμπέρασμα με βάση τα παραπάνω καθιστά την Π1 αληθή: απολύτως λογικό, βρέχει και έχει συννεφιά, η Π1 ισχύει. Αν όμως δεν ισχύει το συμπέρασμα, δηλαδή αν βρέχει και δεν έχει συννεφιά, τότε η αλήθεια της Π1 καταρρέει. Με άλλα λόγια η αλήθεια της Π1 καταρρέει μόνο αν βρέχει και δεν έχει συννεφιά. Σ’ όλες τις άλλες περιπτώσεις η Π1 παραμένει αληθής.

Αυτή είναι κοινή-καθημερινή λογική και στα Μαθηματικά αποκρυσταλλώνεται στον παρακάτω “πίνακα αλήθειας”, όπου παρουσιάζονται όλες οι δυνατές τιμές αλήθειας της υπόθεσης και του συμπεράσματος μαζί με την αντίστοιχη λογική αποτίμηση της συνεπαγωγής, δηλαδή του τύπου της μορφής ΑΝ “ΥΠΟΘΕΣΗ”, ΤΟΤΕ “ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ”:

Παρατηρείστε ότι όταν η υπόθεση είναι ψευδής δεν χρειάζεται να γνωρίζουμε το συμπέρασμα για να αποφασίσουμε την ισχύ της συνεπαγωγής, ανεξάρτητα από το συμπέρασμα η συνεπαγωγή είναι αληθής. Με άλλα λόγια, από μια ψευδή υπόθεση, μπορούμε να βγάλουμε οποιοδήποτε συμπέρασμα. Επομένως, στο 3ο ερώτημα της δεδομένης άσκησης όπου για κάθε θετικό αριθμό x η υπόθεση είναι ψευδής, μπορούμε να βγάλουμε οποιοδήποτε συμπέρασμα, για κάθε θετικό αριθμό x. Άρα, όλες οι δεδομένες απαντήσεις είναι σωστές (Α, Β, Γ, Δ και Ε).

Γιώργος Μπουγιούκας

Γιατί δεν υπάρχει πρόσβαση στα τμήματα Μαθηματικών από το πεδίο Επιστημών Οικονομίας και Πληροφορικής;

Ο μαθηματικός Κουρτ Γκέντελ. Απέδειξε ότι οι πρωτόγονες αναδρομικές συναρτήσεις είναι αναπαραστάσιμες στην πρωτοβάθμια αριθμητική Peano.

Οι υποψήφιοι/ες του πεδίου Επιστημών Οικονομίας και Πληροφορικής εξετάζονται στα ίδια ακριβώς θέματα με τους υποψήφιους/ες του πεδίου Θετικών και Τεχνολογικών Επιστημών για το μάθημα των Μαθηματικών (με τον υψηλότερο συντελεστή 1.3), ενώ εξετάζονται και στο μάθημα της Ανάπτυξης Εφαρμογών σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον, το οποίο έχει ισχυρή δομική συνάφεια με επιπλέον τρία (!) μαθηματικά αντικείμενα:

  1. Αλγόριθμοι και γενικότερα υπολογιστικές διαδικασίες (αναπαριστάνονται στην πρωτοβάθμια αριθμητική Peano)
  2. Δίτιμη Άλγεβρα Boole («λογικές εφράσεις» της Γλώσσας της ΑΕΠΠ )
  3.  Προτασιακή Λογική (η συνάφεια με την  δίτιμη άλγεβρα Boole είναι προφανής)

Επομένως, οι υποψήφιοι/ες του πεδίου Επιστημών Οικονομίας και Πληροφορικής εξετάζονται πρακτικά σε συνάφεια με τέσσερα (!) μαθηματικά αντικείμενα, και όχι μόνο στην Ανάλυση, όπως συμβαίνει με τους υποψήφιους/ες του πεδίου Θετικών και Τεχνολογικών Επιστημών. Δεν συνιστά έκπληξη, λοιπόν, που όλα τα τμήματα Μαθηματικών έχουν δηλώσει ρητά ότι επιθυμούν οι υποψήφιοί τους να εξετάζονται στο μάθημα της Πληροφορικής (Η πρόταση για Χημεία η Πληροφορική στις Πανελλαδικές). Εξάλλου περιλαμβάνουν πολλά μαθήματα σχετικά με τον Προγραμματισμό στα προγράμματα σπουδών τους. Παρόλ’ αυτά, οι υποψήφιοι/ες του πεδίου Επιστημών Οικονομίας και Πληροφορικής δεν έχουν πρόσβαση στα τμήματα Μαθηματικών;

Γιώργος Μπουγιούκας